الحجم ومساحة السطح الأمثل

لينا تفكر في طريقة صنع العلب باستخدام أقل كمية ممكنة من المعدن. إنها أمثل طريقة. العلبة التي في يديها تحوي 330 مليلتر. ليكون حملها سهلا، فشكل العلبة أسطواني. نحسب حجم الاسطوانة بضرب مساحة القاعدة، وهي دائرة، في ارتفاع الاسطوانة. لذا، pi ضري نصف القطر تربيع للدائرة، ضرب الارتفاع. يمكن أن تحوي العلبة 330 مليلتر، أو 330 سنتيمتر مكعب. هذا هو قيد الحجم. لذا فمعادلة القيد هي pi ضرب نصف القطر تربيع ضرب الارتفاع، يساوي 330. نحسب كمية المواد المطلوبة بجمع مساحات العلب الثلاثة: الغطاء والقاعدة والسطح الدائرى حولها. هذا هو إجمالي مساحة سطح الاسطوانة. الغطاء والقاعدة كلاهما على شكل دائرة. مساحة الغطاء هي pi ضرب نصف القطر تربيع. لكن لدينا قاعدة أيضا، لذا نضرب تلك المساحة في إثنين. نصنع قَطعا على طول ارتفاع السطح الدائري حول العلبة، ونسطحه. للسطح شكل المستطيل. عرض المستطيل هو محيط العلبة. إرتفاع المستطيل هو ارتفاع العلبة. مساحة هذا السطح هي العرض ضرب الطول، أو pi ضرب إثنين ضرب نصف القطر، ضرب الارتفاع. نجمع مساحات الغطاء والقاعدة والمستطيل، فنحصل على إجمالي مساحة السطح. تريد لينا استخدام أقل كمية ممكنة من المواد. إنها تريد أمثل مساحة. لذا، عليها معرفة قيم كل من نصف القطر r والارتفاع h التي تؤدي لأصغر مساحة. هذا يعني أن صيغة حساب إجمالي مساحة السطح هي معادلة أمثلية. يمكن تبسيطها لتحتوى قيمة واحدة مجهولة فقط. لنجرب استبدال h في معادلة الأمثلية باستخدام معادلة القيد. نقسم على "pi ونصف القطر تربيع" على جانبي علامة يساوي. إذا الارتفاع h يساوي: 330 تقسيم "pi ضرب نصف القطر تربيع". ثم نستبدل h في معادلة الأمثلية بـ "330 تقسيم pi ضرب نصف القطر تربيع". صيغة إجمالي مساحة السطح الجديدة تصبح "pi ضرب نصف القطر تربيع، ضرب إثنين، زائد 660 تقسيم نصف القطر". أوقف الفيلم وتأكد من صحة ذلك. كيف نحصل الآن على المساحة الأصغر أو الأمثل؟ لنجرب قيما مختلفة لـ r في جدول. ندخل بعض القيم لنصف القطر r في العمود A، ونكتب قيم النتائج في العمود B. مع زيادة نصف القطر، يقل إجمالي مساحة السطح، حتى يصل نصف القطر لخمسة، ثم تعود المساحة للزيادة مجددا. إذا، حينما يكون نصف القطر حوالي 4 سنتيمتر، فهو أقل إجمالي مساحة للسطح. لكن ليس من المؤكد أن 4 سنتيمتر بالضبط هو ما يعطي أقل إجمالي مساحة للسطح. بنصف قطر 3.9 نحصل على إجمالي مساحة سطح أقل. نختبر 3.8...3.7...3.6...! أها! تقل المساحة حتى يصل نصف القطر لـ 3.7. لنجرب برقمين عشريين. نصل لأقل مساحة عند نصف قطر 3.74. يمكنك المتابعة بثلاث وأربع وخمس أرقام عشرية، لكننا سنتوقف هنا. إن كان نصف القطر 3.74 سنتيمتر، يكون الارتفاع حوالي 7.5 سنتيمتر. نصف قطر 3.74 سنتيمتر يعني أن القطر 7.48 سنتيمتر. نقرب ذلك لـ 7.5. القطر إذا هو بنفس طول الارتفاع. يبدو أن أقل إجمالي مساحة سطح للاسطوانة هو عند تساوي الارتفاع مع القطر. لذا هكذا ينبغي صنع العلبة الاسطوانية الشكل، لاستخدام أقل مواد ممكن. هذه هي النتيجة المثالية للينا. لكن ارتفاع العلبة التي لديها أكبر من قطرها. هذا غالبا لجعل حملها والشرب منها أسهل. أوه لينا ... حقا!!