Division mit Brüchen

Heute dividieren wir Brüche. Keine Angst! Es ist leichter, als es scheint. Aber wenn du noch nicht gelernt hast, wie man Brüche multipliziert, dann tu das jetzt, denn du wirst es in dieser Lektion brauchen. Fangen wir mit einem einfachen Beispiel an: Du möchtest 3 Liter Limonade in Gläser gießen, die jeweils 1/4 Liter fassen können.

Wie viele Gläser kannst du füllen? Mit anderen Worten: Wie viele Viertel passen in 3 Ganze? Wenn du sie auf dem Bildschirm zählst, erkennst du, dass 3 Ganze 12 Viertel enthält. Mit 3 Litern lassen sich 12 Gläser füllen. Gut, aber wie viele der gleichen Gläser kann 1/2 Liter Limonade füllen?

Mit anderen Worten, wie viele Viertel passen in 1/2? Wie du siehst, enthält 1/2 2/4. Mit 1/2 Liter Limonade lassen sich 2 Gläser füllen. Es ist nicht immer so einfach, den Quotienten von zwei Brüchen herauszufinden! Deshalb konzentrieren wir uns auf eine Methode der Division von Brüchen, die immer funktioniert.

Zum Vergleich verwenden wir das gleiche Beispiel: Wie viele Viertel passen in 1/2, oder was ist 1/2 geteilt durch 1/4? Die Division von Brüchen ist manchmal schwierig, deshalb versuchen wir, den Bruch aus dem Nenner zu entfernen. Wie geht das? Wir erweitern den Bruch im Nenner derart, dass der Nenner 1 lautet. Um 1/4 in 1 umzuwandeln, erweitern wir es auf 4, oder 4 Ganze.

Das ergibt: 1 ⋅ 4 = 4, und 4 ⋅ 1 = 4, somit haben wir 4/4, was 1 entspricht. Mit dem Bruch im Zähler verfahren wir genauso: Erweitere eine Hälfte auf 4, oder 4 Ganze. Das ergibt: 1 ⋅ 4 = 4 und 2 ⋅ 1 = 2. So erhalten wir 4/2, was 2 entspricht. Der Quotient ist zwei Ganze, also 2.

Eine Zahl durch 1/4 zu teilen, ist das Gleiche, wie diese Zahl mit 4 oder 4 Ganzen ​zu multiplizieren. 4 Ganze ist der ​Kehrwert oder reziproke Wert von 1/4. Deshalb ist das ​Dividieren einer Zahl durch einen Bruch das Gleiche wie das ​Multiplizieren dieser Zahl mit dem ​Kehrwert desselben Bruchs. Wenden wir diese Regel mal an einem anderen Beispiel an: 5/6 geteilt durch 4/5. Was tun?

Anstatt durch 4/5 zu teilen, können wir auch mit dem Kehrwert von 4/5 multiplizieren. Wie bestimmt man den Kehrwert? Wenn du 4/5 umdrehst, erkennst du seinen Kehrwert – nämlich 5/4. Jetzt können wir 5/6 mit 5/4 multiplizieren: Im Zähler erhalten wir: 5 ⋅ 5 = 25. Im Nenner erhalten wir 6 ⋅ 4 = 24 Daraus ergibt sich der Quotient 25/24, oder als gemischter Bruch: 1 und 1/24.

Merke dir die folgende Regel: Durch einen Bruch zu teilen, ist das Gleiche, wie mit dem Kehrwert desselben Bruchs zu multiplizieren. Du erhältst den Kehrwert eines Bruchs, indem du ihn umdrehst. Tausche einfach Zähler und Nenner miteinander aus. Zum Beispiel: 4/1 ist der Kehrwert von 1/4. Wenn du eine Zahl mit ihrem Kehrwert multiplizierst, lautet das Produkt immer 1.

Zum Beispiel: 1/4 ⋅ 4/1 = 4/4 = 1