Bruchrechnen
Erweiterung & Kürzung von Brüchen: Einführung
Erweiterung & Kürzung von Brüchen: mehr Beispiele
Der kleinste gemeinsame Nenner
Multiplikation mit Brüchen
Division mit Brüchen
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Der kleinste gemeinsame Nenner
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Was ist der kleinste gemeinsame Nenner? Gib nur eine Zahl als Antwort. und
Um Brüche zu addieren oder subtrahieren, müssen diese den gleichen Nenner haben. Addiere 1/6 mit 2/9. Eine einfache Methode, die du gelernt hast, ist das Erweitern der Brüche, indem die Nenner und Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchs multipliziert werden. Die Nenner beider Brüche werden somit identisch gemacht. Aber dieser Trick, das Erweitern mit dem Nenner des anderen Bruchs, sieht nicht immer so elegant aus.
Wenn du mehr als einen Bruch addieren oder subtrahieren möchtest, oder wenn die Nenner große Zahlen sind, können am Ende sehr große Nenner herauskommen, und der Rest der Berechnung wird schwieriger. Deshalb ist es eine gute Idee, einen kleineren gemeinsamen Nenner zu finden, wenn nicht gar den kleinstmöglichen. Der kleinste gemeinsame Nenner. Also lasst uns dieselben Brüche noch einmal angehen. Anstatt jeden Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu multiplizieren, faktorisieren wir beide Nenner so weit wie möglich.
6 kann in 3 · 2 zerlegt werden. Weiter geht's nicht, denn 3 und 2 sind Primzahlen. Und Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. 9 kann als 3 · 3 zerlegt werden. Es bleiben also nur Primzahlen übrig.
Nun erweitern wir die Nenner beider Brüche, um den exakt gleichen Wert zu erhalten. Beide enthalten bereits eine 3. Um die brauchen wir uns also nicht zu kümmern. Aber die 2 im ersten Nenner muss auch im zweiten Nenner vorkommen. Deshalb erweitern wir den anderen Bruch mit 2.
Jetzt ist nur die 3 aus dem zweiten Bruch übrig. Wir erweitern den ersten Bruch mit 3. Nun haben wir dieselben Zahlen in den Nennern der beiden Brüche. Wir können sie in die gleiche Reihenfolge bringen, um es einfacher zu erkennen. Auf diese Weise ist der Bruch etwas einfacher geworden, und du musst dich nicht mit großen Zahlen herumärgern.
Der Ergebnis ist dasselbe, denn 21/54, unser ursprünglicher Wert, ergibt den gleichen Quotienten wie 7/18. Vielleicht erinnerst du dich an die Sechser- und Neunerreihen so gut, dass du sofort erkennst, dass 18 die kleinste Zahl ist, die durch beide teilbar ist? Dann hast du den kgN bereits gefunden. Dies ist der schnellste Weg, um kleine Nenner zu finden. Lass uns eine schwierigere Aufgabe angehen, bei der dir das Einmaleins wohl nicht helfen kann: 26/84 + 7/15.
Faktorisiere zunächst die Nenner. 84 kann in 2 ⋅ 42 zerlegt werden und 42 in 2 ⋅ 21 und 21 in 3 ⋅ 7. So bleiben nur Primzahlen übrig. Der Nenner des anderen Bruchs kann als 3 ⋅ 5 faktorisiert werden. Da wir bei beiden Nennern eine Primfaktorzerlegung angewendet haben, können wir sie nicht weiter faktorisieren. Jetzt erweitern wir die Brüche so lange, bis die Nenner identisch sind.
Fang von der linken Seite an. 2 fehlt im zweiten Nenner. Erweitere den zweiten Bruch mit 2. Der nächste Faktor ist auch eine 2, also tun wir das Gleiche noch einmal. Dann kommt eine 3, aber die ist bereits im zweiten Nenner vorhanden.
Wir müssen also nicht mit 3 erweitern. Der letzte Faktor im ersten Bruch ist eine 7. Da sie nicht im zweiten Nenner vorkommt, erweitern wir ihn mit 7. Im zweiten Nenner ist allein die Zahl 5 nicht bereits im ersten Nenner vorhanden, also erweitern wir den ersten Bruch mit 5. Nun enthalten beide Nenner genau dieselben Faktoren, ohne dass wir die Brüche mehr als nötig erweitert hätten.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist also 420, aber wir belassen die Faktoren im Nenner vorerst zerlegt in ihre Primzahlen. Multipliziere die Faktoren in den Zählern. Jetzt kannst du einen gemeinsamen Bruchstrich ziehen und die Zähler addieren. 326 kann durch 2 gekürzt werden. Weiter als bis hier kommen wir nicht.
Also multiplizieren wir die Faktoren im Nenner und erhalten 210, 163/210. Das war eine Menge von Schritten, und es mag beim ersten Mal kompliziert erscheinen. Wenn du mithilfe der Primfaktorzerlegung den kgN suchst, musst du dich eigentlich nur an zwei Dinge erinnern. Erstens: Zerlege beide Nenner so weit wie möglich – in Primzahlen. Zweitens: Erweitere die Brüche, bis beide Nenner identisch sind, aber nicht weiter.
So wie hier. Jetzt sind beide Nennner identisch, und die Brüche haben den kleinsten gemeinsamen Nenner. Der Rest ist uns vertraut: Subtrahieren von Brüchen. 1. Zerlege in Primzahlen.
2. Erweitere, bis beide Nenner gleich sind.