Erweiterung & Kürzung von Brüchen: Einführung

Ist das ein Bruch? Oder bedeutet es Division? Man kann sagen, dass Brüche Divisionen sind, die noch nicht berechnet wurden. Wenn du einfache Probleme löst, kannst du meist alle Brüche als Divisionen behandeln. Gib sie in einen Rechner ein, und du erhältst Dezimalzahlen als Antwort.

Aber manche Brüche können nicht als Dezimalzahlen gezeigt werden, ohne sie zu runden. Wenn du tiefer in die Mathematik eindringst und Aufgaben beginnen, so auszusehen, wird es nicht mehr möglich sein, Brüche als Dezimalzahlen darzustellen. Es gibt ein paar einfache Tricks, die du auswendig lernen kannst, um schwierige Brüche zu vereinfachen. Hier sind zwei der Tricks: Erweiterung und Kürzung. Doch eins nach dem anderen: Brüche haben ein besonderes Merkmal, das dir anfangs seltsam erscheinen mag.

Der Wert eines Bruchs wird nicht durch die Zahlen im Zähler und Nenner bestimmt, sondern durch das Verhältnis zwischen diesen Zahlen – dem Anteil einer Zahl an der anderen. 2/3 entspricht 4/6. Das ist offensichtlich. Weil 2 genau so viele Male in 3 passt, wie 4 in 6 passt und wie 8 in 12 passt und wie 3 Millionen in 4 1/2 Millionen passt. Brüche drücken einen Anteil, ein Verhältnis zwischen zwei Zahlen aus.

Weil der Wert eines Bruchs – der Quotient – gleich bleibt, solange sich das Verhältnis zwischen den Zahlen nicht ändert, kannst du sowohl den Nenner als auch den Zähler vergrößern oder verkleinern, ohne den Wert des Bruchs zu beeinflussen, solange du es mit dem gleichen Faktor tust. Hier haben wir sowohl den Zähler als auch den Nenner verdoppelt. Und noch einmal verdoppelt. Dann haben wir Zähler und Nenner mit 375.000 multipliziert. Alle vier Brüche haben noch den gleichen Wert, den gleichen Quotienten.

Gib sie im Taschenrechner ein, wenn du es nicht glaubst. Eine solche Multiplikation nennt man auch das Erweitern von Brüchen. Wie bei den meisten Rechenoperationen kannst du das, was wir gerade mithilfe von Multiplikation taten, auch mit der umgekehrten Rechenart tun – Division. In diesem Fall kürzen wir einen Bruch. Der Bruch 21/28 kann gekürzt werden, indem Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl geteilt werden.

Da sowohl 21 als auch 28 in der Siebenerreihe vorkommen, erhalten wir gerade Zahlen, wenn wir mit 7 kürzen. 3 passt genauso oft in 4 wie 21 in 28. Der Zähler und der Nenner haben das gleiche Verhältnis zueinander. Ihre Anteile sind dieselben. Das Kürzen oder Erweitern durch 10, 100 oder 1.000 ist einfach.

Dazu verschiebst du das Dezimalkomma einfach nach rechts oder nach links. Zum Beispiel 250/1000. Streiche eine Null über und unter dem Bruchstrich weg. Wenn du nun Zähler und Nenner durch 10 teilst, erhältst du den Bruch 25/100. Willst du weitermachen und den Quotienten berechnen, dann verschiebe das Dezimalkomma 2 Stellen nach links.

Es ist, als ob du durch 100 teilst. 0,25 : 1 = 0,25. Du kannst mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren und dividieren, solange du dasselbe im Nenner und Zähler tust. Aber Vorsicht, es gibt eine Falle. Hier haben wir 25/30.

25 : 30 ≈ 0,83.. Mal angenommen, du möchtest diesen Bruch auf Neunzigstel erweitern. Wie bekommst du 90 in den Nenner? Was gar nicht geht, ist Addieren oder Subtrahieren. Schau.

Wenn du 60 zu Nenner und Zähler addierst, erhältst du zwar 90 im Nenner, aber das Verhältnis zwischen Nenner und Zähler wäre nicht mehr gleich. 85 : 90 ≈ 0,94, nicht 0,83. Ab in die Mülltonne mit dieser Lösung! Erweitern und Kürzen von Brüchen funktioniert nur mit Multiplikation und Division, denn nur dann kannst du dasselbe Verhältnis zwischen Nenner und Zähler beibehalten. Betrachte es auf diese Weise: Mit welcher Zahl musst du 30 multiplizieren oder dividieren, um 90 zu erhalten?

3, natürlich! 30 ⋅ 3 = 90. Multipliziere sowohl Nenner als auch Zähler mit 3. Dann haben wir 90 im Nenner, wie geplant, und das Verhältnis zwischen Nenner und Zähler ist gleich geblieben. Der Wert eines Bruchs ist gegeben durch das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner.

Wenn du sowohl Nenner als auch Zähler mit der gleichen Zahl multiplizierst oder dividierst, behältst du dasselbe Verhältnis und somit auch denselben Wert bei. So erweitert oder kürzt man Brüche.