Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Ahh, hier seid ihr und kaut Gras. Welche Ziege hat das meiste Gras auf ihrem Wiesenstück? Mit anderen Worten: Welches dieser Dreiecke hat den größten Flächeninhalt? Wenn du diese drei Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnest und ausschneidest, kannst du sie anschließend wiegen. Das schwerste Dreieck hat demnach auch die größte Fläche.

Vorausgesetzt, dass du für alle Dreiecke natürlich das gleiche Papier verwendest. Dies mag vielleicht ein wenig umständlich sein. Aber manchmal muss man den genauen Flächeninhalt wissen, nicht nur, welche Figur die größte ist. In diesem Fall hilft weder Schneiden noch Wiegen. Du musst rechnen.

Nun erweist sich dein Wissen über die Berechnung der Fläche von Rechtecken als sinnvoll. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist natürlich seine Länge mal seine Breite. Wenn du dasselbe mit diesem Dreieck tust, also seine Basis mit der Höhe multiplizierst, erhältst du seine Fläche. Du kannst es dann in zwei Teile trennen. Etwa so!

Eine Diagonale von einer zur anderen Ecke teilt ein Rechteck in zwei gleiche Teile. Diese beiden Teile sind genau gleich groß. Deshalb entspricht die Fläche des Dreiecks der halben Fläche des Rechtecks. Oder ganz einfach: Grundseite ⋅ Höhe : 2. Das funktioniert bei allen Dreiecken, aber ein paar Dinge können diese Aufgabe erschweren.

Bei diesem Dreieck ist die Höhe leicht abzulesen. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, steht diese Seite senkrecht zur Grundseite. Deshalb entspricht die Seitenlänge auch der Höhe des Dreiecks. Aber was, wenn wir dies tun? Was ist jetzt die Höhe des Dreiecks?

Ist das noch die Höhe? Auf keinen Fall! Die Höhe muss einen rechten Winkel mit der Grundseite bilden. Die Fläche dieses Dreiecks ist, wie bei jedem Dreieck: Grundseite ⋅ Höhe : 2. Beim rechtwinkligen Dreieck konnte man leicht erkennen, wie es funktioniert.

Kaum zu glauben, dass es auch mit diesem Dreieck funktioniert? Stell es dir so vor: Durchtrenne das Dreieck von seinem höchsten Punkt geradewegs nach unten. Nun hast du zwei rechtwinklige Dreiecke. Jedes entspricht der Hälfte des Produkts von Grundseite und Höhe. Wenn du nur die Grundseite mit der Höhe multiplizierst, erhältst du eine Fläche, die genau zwei mal größer ist als die Fläche des Dreiecks.

Also entspricht die Fläche des Dreiecks: Grundseite ⋅ Höhe : 2. Wie sieht's mit diesem Dreieck aus? Wie berechnest du seinen Flächeninhalt? Hier kannst du keine vertikale Linie von der Grundseite zur Spitze ziehen. Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen.

Du könntest die Höhe von einer imaginären Linie messen, welche die Basis so verlängert. Dann rechne: Basis ⋅ Höhe : 2. Oder du machst Folgendes: Nun ist es einfach, die Höhe zu finden. Danach wie immer: Basis ⋅ Höhe : 2. Der Flächeninhalt ist derselbe.

Merke dir dieses Gesetz, dann kannst du immer die Fläche eines Dreiecks berechnen: Grundseite ⋅ Höhe : 2.