Gleichungen mit der Ausgleichmethode lösen

Eine Gleichung ist wie eine ausbalancierte Balkenwaage. Einfache Gleichungen können mit der Zeigefingermethode leicht gelöst werden. Aber die Gleichungen, auf die du triffst, werden immer schwerer. So wie diese hier: 4x - 1 = 2x + 9. Hier findest du x auf beiden Seiten, es ist also nicht mehr hilfreich, die Zeigefingermethode anzuwenden, um den Wert von x zu bestimmen.

Aber wir können die Lösung in einfache Schritte herunterbrechen und die unbekannte Variable auf der linken Seite schließlich isolieren. Um das zu tun, verwenden wir die Äquivalenzumformung. Regel Nummer 1 für die Äquivalenzumformung lautet: Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun. Holen wir also wieder unsere Balkenwaage hervor. Auf der linken Schale haben wir 4 Geheimkisten sowie -1 kg. (Der Heliumballon steht für -1.) Auf der rechten Schale liegen 2 Geheimkisten und 9 Kilogramm.

Denk an die Regel: Was wir auf der einen Seite tun, müssen wir auch auf der anderen Seite tun. Los geht's! Wir möchten x allein auf einer Seite haben, deshalb entfernen wir von rechts 2x. Anschließend tun wir das gleiche auf der linken Seite. Entferne dort 2x.

Füge eine neue Zeile in die Gleichung ein, in der du auf beiden Seiten -2x rechnest. Jetzt können wir vereinfachen. Die x sind, wie gewollt, von der rechten Seite verschwunden. Nun ist es Zeit, auch alles von der linken Seite zu entfernen, das nicht x ist. Um -1 loszuwerden, fügen wir +1 ein.

Und was wir auf der linken Seite tun, müssen wir auch auf der rechten Seite tun. Also rechnen wir auf jeder Seite +1… und vereinfachen. Erkennst du das Muster? Bei jedem Schritt, den wir tun, tun wir Dasselbe auf der rechten und linken Seite, und erhalten somit eine neue Gleichung, die ein bisschen einfacher ist als die vorige. Die Gleichung ist nun einfach genug, um sie mit der Zeigefingermethode zu lösen.

Doch lass uns lieber auf diese Weise weitermachen, so lernst du am schnellsten. Um die 2x auf der linken Seite in ein einziges x zu verwandeln, kannst du links und rechts -x hinzufügen. Links steht nun ein einzelnes x. Doch rechts steht auch wieder eins. Das war also ein falscher Schritt.

Zurück zum Anfang. Neuer Versuch: Um 2x in ein x zu verwandeln, teilen wir durch 2. Und was du auf der einen Seite tust, tust du auch auf der anderen Seite. Du teilst also auch das durch 2, was in der rechten Schale liegt. Denn wenn die ganze linke Waagschale so viel wiegt wie die ganze rechte Waagschale, dann wiegt auch die Hälfte der linken so viel wie die Hälfte der rechten.

Das gleiche Prinzip findet in der Gleichung Anwendung, wenn wir auf beiden Seiten geteilt durch 2 hinzufügen. Um die Antwort zu erhalten, musst du nur noch vereinfachen. x = 5. Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Hier steht sie...

Halte das Video an und stelle sicher, dass deine Lösung korrekt ist. Bist du bereit für ein weiteres Beispiel? Halte das Video gerne an und ruhe dein Gehirn für eine Weile aus. Denn jetzt legen wir einen Zahn zu. Neue Gleichung.

Auf der linken Seite hast du: 1/4y + 2. Und auf der rechten Seite: 5 - 1/4y. Fang damit an, alle Terme mit der unbekannten Variable auf die gleiche Seite zu holen. Addiere 1/4y zu beiden Seiten. Vereinfache.

Wir haben jetzt 2/4y auf der linken Seite und kein y auf der rechten Seite. Klasse! So, lassen wir die y auf der linken Seite allein und fügen auf beiden Seiten -2 hinzu. Und vereinfachen erneut. Um 1/2y in ein Y umzuwandeln, multiplizierst du die gesamte linke Seite mit 2… und tust dasselbe mit der rechten Seite.

Dann musst du nur noch vereinfachen. y = 6. Hier ist die ursprüngliche Gleichung. Halte das Video an, setze für jedes y eine 6 in die Gleichung ein und überprüfe die Richtigkeit des Ergebnisses!