Die Winkel eines Dreiecks

Das Dreieck ist vielleicht das wichtigste Polygon, weil man jedes Polygon in Dreiecke aufteilen kann. Wenn du die Fläche, Winkel und Seitenlängen eines Dreiecks berechnen kannst, dann kannst du fast alles berechnen. Die Winkel eines Dreiecks haben etwas ganz besonderes an sich. Misst und addierst du sie sorgfältig, so erhältst du ​immer die Winkelsumme von 180 Grad​. Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, also beträgt einer der Winkel 90 Grad.

Die anderen Winkel messen 53 und 37 Grad. 90 + 53 + 37 = 180 Grad. Die ​Winkelsumme​ dieses Dreiecks beträgt 180 Grad. Und das gilt für alle Dreiecke. Zeichne ein Dreieck mit einem Lineal auf Papier, schneide es aus und reiße die Ecken ab.

Du kannst die Ecken nebeneinander legen, so wie hier. Sie bilden einen Halbkreis, und ein Halbkreis beträgt 180 Grad. Egal, wie du dein Dreieck zeichnest, die Ecken bilden immer einen Halbkreis, wenn du sie zusammenlegst. Das Dreieck auf der linken Seite ist ein gleichschenkliges Dreieck​. Das erkennst du daran, dass zwei seiner Seiten gleich lang sind.

Da beide Seiten lang gleich sind, sind diese Winkel auch gleich. Wir markieren sie, damit wir zeigen dass sie gleich sind. Da wir wissen, wie groß der Winkel an der Spitze ist, können wir berechnen, wie groß die 2 gleichen Basiswinkel sind. Alle drei Winkel summieren sich auf 180 Grad. Der obere Winkel entspricht 35 Grad.

Dann bleiben noch 145 Grad übrig. Die beiden unteren Winkel müssen gleich groß sein, nämlich 145 Grad / 2. Jeder dieser beiden gleichen Winkel misst also 72,5 Grad. Dieses Dreieck ist ​gleichseitig.​ Alle seine Seiten sind gleich lang. Und wenn die Seiten eines Dreiecks gleich lang sind, müssen​ die Winkel auch gleich groß sein.

Versuche, ein gleichseitiges Dreieck mit unterschiedlichen Winkeln zu zeichnen, und du wirst rausfinden, dass dies nicht möglich ist. . . 3 gleiche Winkel ergeben zusammen 180 Grad, was bedeutet, dass jeder von ihnen 1/3 von 180 Grad ​ausmacht. 180 / 3 = 60 Grad. In einem gleichseitigen Dreieck messen alle 3 ​Winkel stets genau 60 Grad. Das brauchst du nicht extra zu messen oder berechnen.

Weil das in einem gleichseitigen Dreieck ​so ist​: Alle Winkel sind identisch, nämlich 60 Grad. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad. Kennst du 2 der Winkel in einem Dreieck, kannst du den 3. schon berechnen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90 Grad.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat 2 gleich große Winkel. Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Winkel von 60 Grad. All dies gilt für Dreiecke, die auf eine flache Oberfläche gezeichnet wurden. Aber zeichne doch mal ein Dreieck auf einen Ball. Dann ist fast alles möglich.

Dann lässt sich etwa auch ein Dreieck mit 3 rechten Winkeln malen. Doch dann bewegst du dich nicht mehr innerhalb der euklidischen Geometrie.