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Der Umfang eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises
Flächeninhalt und Umfang eines Kreissektors
Der Flächeninhalt eines Kreises
Du weißt, das der Umfang eines Kreises wie folgt berechnet wird: . Womit solltest du den Umfang multiplizieren, wenn du den Flächeninhalt herausfinden möchtest?
Das ist ein Pfannkuchen. Wie groß ist er? Was ist seine Fläche? Den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, hat alle frühen Kulturen vor Rätsel gestellt. Einer der großen Mathematiker – Archimedes von Syrakus– hat einen Lösungsweg gefunden.
Wenn du einen Kreis in immer kleinere Stücke aufteilst, dann kannst du am Ende ein Rechteck aus ihm formen. Und der Flächeninhalt eines Rechtecks ist leicht zu berechnen. Mach es so: Fang an, indem du einen Kreis in Viertel aufteilst. Und dann leg die 4 Kreissektoren so hin; wie ein Rechteck. Na ja, es sieht nicht ganz wie ein Rechteck aus.
Teile sie nochmal, und es werden 8 Sektoren. Nochmal, und es sind 16. Schiebe dann ein halbes Stück links rüber – und langsam gleicht es einem Rechteck. Teilst du den Pfannkuchen weiter auf, dann wird er am Ende zu Brei. Aber du siehst das Muster: Jedes Mal, wenn du ihn teilst, sieht die Form mehr und mehr aus wie ein Rechteck.
Die Sektoren werden schmaler, die wellige Basis des Rechtecks wird immer gerader. Ein unendlich oftgeteilter Pfannkuchen ist dann ein perfektes Rechteck. Siehst du, was mit dem Umfang des Pfannkuchens passiert, wenn du ihn teilst? Er wird begradigt, die Hälfte davon wird zur Oberseite des Rechtecks und die andere zur Unterseite. Die Grundseite des Rechtecks ist daher die Hälfte des Kreisumfangs.
Das ist gut zu wissen, wenn man den Flächeninhalt berechnen will. Aber woher weiß man die Höhe des Rechtecks? Schau dir die Schnittlängen des Pfannkuchens an. Sie entsprechen dem Radius des Kreises. Und diese Schnittlängen werden immer gerader, bis sie senkrecht zur Grundseite stehen.
Die Höhe dieses Rechtecks entspricht daher dem Kreisradius. So, jetzt haben wir sowohl die Grundseite als auch die Höhe, und der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Höhe. a ⋅ h. Die Grundseite dieses Rechtecks ist die Hälfte des Kreisumfangs. U / 2.
Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Radius des Kreises. r. Nachdem Archimedes es bis hierher geschafft hat, war der nächste Schritt einfach – weil er den Wert von Pi bereits auf zwei Dezimalstellen genau berechnen konnte (Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser). Pass jetzt gut auf: Der Umfang ist der Durchmesser ⋅ Pi. Ersetze U mit d ⋅ Pi.
Und der Durchmesser ist 2-mal der Radius. Ersetze also d mit 2 ⋅ r. Jetzt können wir vereinfachen. 2 / 2 = 1, das kann weg. Und r ⋅ r = r².
Und das Multiplikationszeichen brauchen wir nicht zu schreiben. Der Flächeninhalt der Kreisfläche ist also: Pi ⋅ r². Hast du das verstanden? Schau es dir gerne nochmal an. Achte insbesondere darauf, wie der Kreisradius zur Höhe und die Hälfte des Kreisumfangs zur Basislänge des Rechtecks werden.
So, jetzt können wir die Formel ausprobieren. Hier ist ein Kreis mit dem Durchmesser von 28 m. Ein... Schwimmbecken vielleicht? Wie berechnen wir den Flächeninhalt des Beckens?
Wir verwenden die Formel: Der Flächeninhalt der Kreisfläche = Pi ⋅ Radius². Pi ist ungefähr 3,14. Und der Radius ist der halbe Durchmesser. 28 / 2. So, jetzt mit Taschenrechner!
Halt das Video jederzeit an. Wichtig ist die Reihenfolge der Rechenoperationen. Zuerst die Klammern. Dann die Exponenten. Und zum Schluss die Multiplikation.
Der Flächeninhalt beträgt 615,44 m². Da wir den Durchmesser in m gemessen haben, ist die Antwort in m². Du könntest den Flächeninhalt auch mit mehr Dezimalstellen von Pi berechnen. Er wäre dann ein wenig größer. Du musst nur eine Sache auswendig lernen, um eine Kreisfläche zu berechnen.
Der Flächeninhalt ist gleich Pi ⋅ Radius². Wenn du mit diesem Video Schwierigkeiten hattest, dann schau dir die Videos zum Kreisumfang, zur Fläche von Rechtecken und zu irrationalen Zahlen an. All diese Dinge sind verwandt.