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Der Umfang eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises
Flächeninhalt und Umfang eines Kreissektors
Flächeninhalt und Umfang eines Kreissektors
Welcher Bruchteil eines Kreises stellt einen Kreissektor mit einem Winkel von 90 dar?
Jede Naschkatze hat es gerne in der Hand und noch lieber im Mund: ein Stück Pizza. Aber dies ist Mathematik, und da nennt man es einen Kreissektor. Du erhältst einen Kreissektor, indem du einen Kreis mit 2 Schnitten entlang der Radien unterteilst, so dass sie sich genau in der Mitte des Kreises treffen. Wie viel Pizza macht der Kreissektor aus? Was ist sein Flächeninhalt?
Fangen wir mit der Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Pizza an. Dazu rechnen wir: Pi ⋅ Radius². Wir messen den Radius...15 Zentimeter. Und Pi entspricht etwa 3,14. 3,14 ⋅ 15² ergibt 706,5.
Die ganze Pizza misst also 706 und 1/2 cm². Das war der Flächeninhalt der ganzen Pizza. Wir haben jedoch nur ein Stück davon. Um den Anteil des Sektors am Kreis zu berechnen, brauchen wir den Winkel zwischen den beiden Radien, entlang denen die Pizza geschnitten wurde. Nutze einen Winkelmesser zum Abmessen!
Genau 45 Grad. Dieser Kreissektor misst 45 Grad – von 360. Da der ganze Kreis 360 Grad misst, ist der Anteil dieses Sektors am gesamten Kreis 45 / 360. Jetzt können wir zusammenfassen: Die Fläche des Kreissektors entspricht Flächeninhalt des gesamten Kreis ⋅ Anteil des Sektors am gesamten Kreis. 706,5 ⋅ 45 / 360, ungefähr = 88 cm².
Davon wirst du bestimmt nicht satt. Vielleicht möchtest du wissen, wie lang der Rand deines Pizzastücks ist? Das berechnest du auf die gleiche Weise. Erstens: Wie lang ist der Rand der ganzen Pizza? Ihre Länge entspricht dem Umfang.
Der Umfang entspricht Pi ⋅ 2 ⋅ Radius. Setze 15 als Radius ein und rechne. Der Umfang ist ein wenig mehr als 94 cm. Der Anteil des Sektors am gesamten Kreis wird auf die gleiche Weise berechnet: 45 Grad / 360. Multipliziere den Umfang des ganzen Kreises mit dem Anteil des Sektors am ganzen Kreis, und du erhältst die Länge dieses Bogens.
Ein Bogen ist der Rand des Pizzastücks. Der Kreisbogen ist knapp 12 cm lang. Okay, fassen wir nun alles noch einmal zusammen: Der Kreissektor ist Teil eines Kreises, der von 2 Kreisradien begrenzt wird. Die Fläche eines Kreissektors berechnet sich so: Kreisfläche ⋅ Winkel des Sektors / 360. Der Kreisbogen ist der gekrümmte äußere Rand des Kreissektors.
Um die Länge eines Kreisbogens zu erhalten, multiplizierst du den Umfang des ganzen Kreises mit dem Winkel des Sektors (in Grad) / 360.