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Maßstäbe für Flächen und Volumen
Maßstäbe für Flächen und Volumen
Der große Würfel mit den Seitenlängen 10 wird derart verkleinert, dass die Seitenlängen 1 sind. Was ist der Volumenmaßstab?
Leon ist Trainer einer Jugendfußballmannschaft. Um Anweisungen zu geben, benötigt er einen Plan eines Fußballfeldes. In echt ist ein Fußballfeld 70 ⋅ 40 m groß und Leon zeichnet eins im Maßstab 1:200. Jeder Meter auf dem Feld entspricht 2/100 eines Meters auf dem Plan, also einem 1/2 cm. Nee.
Das ist viel zu klein! Leons Plan muss doppelt so groß sein. Er fängt noch einmal an, diesmal mit einem halbierten Maßstab – 1:100. Ein Meter auf dem Fußballfeld entspricht jetzt 1 cm auf dem Plan. Halbierter Maßstab, doppelte Größe.
Aber halt – Moment mal...? Sollte der neue Plan nicht doppelt so groß sein? Jetzt ist er aber 4-mal so groß. Wie ist denn das passiert? Schau genau hin.
Der größere Plan ist doppelt so hoch und doppelt so breit wie das kleinere. Aber seine Fläche hat sich vervierfacht. Das ist der Unterschied zwischen dem Längenmaßstab und dem Flächenmaßstab. Natürlich weißt du noch, dass Entfernungen in Metern und Flächen in Quadratmetern gemessen werden. Und genau so macht man es auch mit Maßstäben.
Der Flächenmaßstab entspricht dem Längenmaßstab zum Quadrat. Der kleinere Plan wurde mit einem Längenmaßstab von 1:200 gezeichnet. Wenn du 200 dieser Pläne aneinander reihen würdest, wären sie genau so lang wie ein Fußballplatz. Das ist der Längenmaßstab. Wenn du 200 quadrierst, erhältst du 40.000.
Der Flächenmaßstab beträgt also eins zu 40.000. Du brauchst 40.000 der kleineren Pläne, um ein gesamtes Fußballfeld zu bedecken. Der größere Plan hat einen Längenmaßstab von 1:100. Und 100² ist 10.000. Damit ist der Flächenmaßstab 1:10.000.
Der größere Plan ist mit einem halbierten Längenmaßstab gezeichnet, aber 1/4 des Flächenmaßstabes. Gehen wir noch einen Schritt weiter und veranschaulichen das in 3 Dimensionen. Hier ist ein Würfel. Seine Kanten sind 1 cm lang und sein Volumen beträgt 1 cm³. Jetzt basteln wir ein Würfelmodell mit einem Längen- maßstab von 2:1, machen den Würfel also doppelt so lang.
Die Seiten sind jetzt 2 cm lang. Aber was passiert mit dem Volumen? Es werden 1,2,3,4,5,6,7, 8 cm³. Der Volumenmaßstab ist der Längenmaßstab³ oder zur 3. Potenz.
Wenn die Leute Maßstab sagen, meinen sie fast immer den Längenmaßstab. Aber aufgepasst. Wenn du nämlich die Längen bei einem Längenmaßstab veränderst, ändert sich auch die Fläche, aber mit dem Längenmaßstab zum Quadrat. Und das Volumen erhöht oder verringert sich zur 3. Potenz des Längenmaßstabs.
Der Flächenmaßstab entspricht dem Längenmaßstab zum Quadrat. Der Volumenmaßstab entspricht dem Längenmaßstab³.