Primzahlen: Faktorisierung

Primzahlen sind etwas Besonderes. Sie können nur durch 1 und sich selbst geteilt werden. (Du hast noch nie von Primzahlen gehört? Schau dir zuerst das Video über Rechteckzahlen an und komme dann wieder.) Das ist Euklid, einer der alten Griechen. Er lebte vor etwa 2300 Jahren in Alexandria, im heutigen Ägypten. Schon damals wussten Mathematiker, dass Zahlen, aus denen man keine Rechtecke machen kann, etwas Besonderes sind.

Und das Thema Primzahlen hält noch immer ungelöste Rätsel bereit, die Mathematiker nachts wach halten. Es ist nämlich nicht leicht zu bestimmen, ob eine sehr große Zahl eine Primzahl ist. Da Primzahlbestimmungen viel Zeit kosten, verwendet man sie in der Kryptographie, um Datenübertragungen über das Internet sicherer zu machen. Hier sind alle Primzahlen kleiner als 100. Es scheint keine Regelmäßigkeiten zu geben, oder?

Bei Primzahlen gibt es aber in der Tat mehrere Muster. Mit Ausnahme der 1. sind alle Primzahlen ungerade Zahlen. Und das müssen sie sein, weil Primzahlen ganze Zahlen sind, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Gerade Zahlen können durch 2 geteilt werden.

Somit können gerade Zahlen – außer der 2 – keine Primzahlen sein. Ein weiteres Muster ist, dass Primzahlen oft paarweise auftauchen, 2 aufeinander folgende ungerade Zahlen also manchmal beide Primzahlen sind. Diese nennt man dann Primzahlzwillinge. Obwohl nicht sehr hilfreich, hat diese Eigenschaft Mathematiker seit Jahrtausenden beschäftigt. Das 3.

Muster ist, dass Primzahlen am Anfang häufiger sind, dann aber der Abstand zwischen ihnen immer größer wird. Aber obwohl der Abstand zwischen den Primzahlen wächst, hören sie nie auf. Euklid hat bewiesen, dass es eine unendliche Anzahl von Primzahlen gibt. Zahlen, die keine Primzahlen sind, aus denen du also Rechtecke formen kannst, heißen zusammengesetzte Zahlen. Diese Zahlen sind durch eine andere Zahl als sie selbst und 1 ohne Rest teilbar.

Nimm eine zusammengesetzte Zahl. Zum Beispiel 18. Diese Zahl kann faktorisiert, also in Faktoren zerlegt werden. 2 ⋅ 9 = 18... und ein Rechteck.

2 ist eine Primzahl, du kannst sie nicht weiter zerlegen. Aber 9 kann in 3 ⋅ 3 zerlegt werden. Ein schönes Quadrat. Jetzt sind nur noch Primzahlen übrig. Du hast 18 in Primzahlen zerlegt – 2 ⋅ 3 ⋅ 3.

Wenn du dieses Bild auf den Kopf stellst, sieht es aus wie ein Baum. Wir nennen es den Faktoren-Baum. Gerade Zahlen können unmittelbar durch 2 geteilt werden. Und wenn du dir das 1x1 gemerkt hast, kannst du sie schnell faktorisieren. 98 ist gerade – 2 ⋅ 49.

Und wie wir von der Siebenerreihe wissen, 7 ⋅ 7 = 49.