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Das Volumen eines Würfels und Quaders
Die Oberfläche eines Würfels und Quaders
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Zylinder
Die Oberfläche eines Kegels
Die Oberfläche eines Kegels
Die Formel zur Berechnung der gesamten Oberfläche eines Kegels lässt sich mithilfe der Formel für die Oberfläche eines Kreissektors umschreiben. Wie lautet diese umgeschriebene Formel?
Die Zeit für Eiscreme ist wieder da. Leon ist nicht so verrückt nach Eiscreme, aber er mag die Waffelhörnchen. Es geht ihm also nicht um das Volumen. Leon möchte die Waffel mit der größten Oberfläche. Welche Waffel sollte er also wählen?
Eine Eiswaffel hat die Form eines geraden Kreiskegels. (Abgesehen davon, dass ein Kegel meist andersherum gemalt wird, etwa so.) Ein gerader Kreiskegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Mantelfläche, die sich nach oben hin zu einer Spitze direkt über dem Kreismittelpunkt verengt. Die Höhe des Kegels ist die Entfernung von der Kegelspitze gerade herunter zur Grundfläche. Der Abstand von der Kegelspitze zum äußeren Rand der Grundfläche ist die Mantellinie. Wenn du einen Kegel an der Mantellinie entlang aufschneidest und dann entfaltest erhältst du einen Kreissektor. Die Mantellinie bildet den Radius des Kreises.
Und der Umfang der Grundfläche des Kegels entspricht dem Bogen des Sektors. Mit dem Winkel des Kreissektors lässt sich auch sein Flächeninhalt berechnen. (Also die Mantelfläche des Kegels.) Lassen sich Kegel und Winkel nicht entfalten bzw. messen, tritt Plan B in Kraft. Stell dir vor, der Kreissektor wird in mehrere kleine Dreiecke aufgeteilt. Am Anfang trifft die Grundseite des Dreiecks den Bogen des Sektors nicht genau.
Doch wenn du den Sektor in viele schmale Dreiecke aufteilst, gleichen sich die Grundseiten der Dreiecke schließlich dem Kreisbogen des Sektors an. Der gesamte Flächeninhalt dieser schmalen Dreiecke nähert sich immer mehr dem Flächeninhalt des Sektors an – und damit auch der Mantelfläche des Kegels. Der Flächeninhalt jedes der Dreiecke ist die Grundseite ⋅ Höhe / 2. Die Höhe dieser Dreiecke entspricht der Mantellinie oder der Seite des Kegels S. Mithilfe eines gemeinsamen Teilers können wir dies so umschreiben: Die Mantellinie / 2 ⋅ die Summe aller Grundseiten der Dreiecke.
Wenn wir nun alle Grundseiten addieren, erhalten wir den Bogen des Kreissektors; der gleichzeitig auch der Umfang der Grundfläche des Kegels ist. Und das ist Pi ⋅ Radius ⋅ 2. Wir haben's gleich geschafft! Kürze die Zweien, die sich gegenseitig aufheben. Geschafft!
Die Formel für die Mantelfläche des Kegels lautet: Die Mantellinie ⋅ Pi ⋅ der Radius. S, Pi, R. „Spir“ wenn du es liest. Moment mal! Wie lässt sich die Mantellinie ohne Lineal bestimmen? Schau dir den Kegel an.
Der Radius der Grundfläche, die Höhe und die Mantellinie formen ein rechtwinkliges Dreieck! Hast du also 2 dieser Werte, kannst du mit dem Satz des Pythagoras den fehlenden 3. Wert berechnen. Die Manteloberfläche des Kegels ist Mantellinie ⋅ Pi ⋅ Radius. Die gesamte Oberfläche des Kegels = Manteloberfläche + Grundfläche.
Die Mantellinie kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. All dies gilt nur für gerade Kreiskegel. Und lässt sich nicht anwenden bei Kegeln wie diesem.