Quadratische Gleichungen: Parabeln

Zu steil für euch, hm? Na gut, ändern wir die Steigung ein wenig ... Immer noch zu steil? Tja, da könnt ihr froh sein, dass es keine quadratische Funktion ist. Die werden nämlich immer steiler, je weiter du gehst.

Schaut's euch an: y = x². Die kleine '2' da oben, die macht daraus eine quadratische Funktion. Machen wir uns eine Wertetabelle, so wie hier, dann wird es klarer. Wenn x = 0 ist, dann ist y = 0²: 0! x = 1, y = 1²: 1!

x = 2, y = 2²: 4! Und so weiter. Schaut: Der Graph beginnt flach, geht aber schnell immer steiler nach oben. Dreht euch um und schaut zu und ihr werdet sehen, was passiert, wenn x negativ ist. Es geht auch dort nach oben!

Für diese Form ist das x² verantwortlich. Wenn ihr eine Funktion mit x² seht, dann wird keine Gerade sondern ein Bogen beschrieben –eine "Parabel". Das ist dann eine "quadratische Funktion". Sehen wir uns eine an, die noch schwieriger ist. Hier ist eine quadratische Funktion mit 3 Termen.

Ein x²-Term, ein x-Term und eine Konstante. Nehmen wir sie uns nacheinander vor. Zuerst eine Wertetabelle mit Spalten für x und y. Wählt ein paar Werte für x, setzt sie in die Gleichung ein und berechnet y. y = x² -2x - 3.

Wenn x = 0 ist, dann ist y = -3. Bei x = 1 erhalten wir y = -4. Ist x = 2 erhalten wir y = -3. Bei x = 3 ist y = 0. Und was ist y, wenn x = -1 ist?

0! So, jetzt haben wir ein paar Punkte berechnet und eingezeichnet. Jetzt verbinden wir die Punkte mit einem schönen, glatten Graphen. Auch so kann man Gleichungen lösen – und das kann sehr hilfreich sein, wenn man auf eine Gleichung stößt, bei der einer der Terme quadriert ist. Setzen wir y = 0, so erhalten wir diese Gleichung: 0 = x² - 2x - 3.

Den Graphen haben wir schon, also können wir die Gleichung ganz ohne Berechnung lösen. Wir haben y = 0 gesetzt, jetzt müssen wir nur noch einen Punkt auf dem Graphen finden, wo y = 0 ist. Und y = 0 gilt entlang der gesamten x-Achse – wir finden die Lösung der Gleichung also da, wo der Graph die x-Achse schneidet! Also hier! y = 0, wo x = 3 ist!

Aber Moment mal! Es gibt noch einen Schnittpunkt! Und zwar hier! y = 0, wo x = -1 ist! Was heißt das?

Kann es für EINE Gleichung etwa mehr als eine Lösung geben? Finde es heraus! Halt das Video an und setze x = 3 in die Gleichung ein. Und dann mach dasselbe mit -1. BEIDE Lösungen sind korrekt!

Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben! Ganz schön cool, oder? Nimm eine Funktion, die einen x²-Term hat, und du hast eine quadratische Funktion. Mach dann eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der quadratischen Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion ist parabelförmig gebogen.

Setze y = 0 und du erhältst eine quadratische Gleichung, die du grafisch lösen kannst, indem du herausfindest, wo der Graph die x-Achse schneidet. Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben. Quadratische Gleichungen kommen überall vor – in Mathe, Physik, Wirtschaftslehre und Basketball.