Berechnung der Fläche von komplexen Figuren

Jenny liebt Autos und arbeitet auf einer Rennstrecke. Die Strecke ist alt und muss neu asphaltiert werden. Jenny wird berechnen, wie viel Asphalt man dafür braucht. Hier ist ein Plan der irgendwie "ovalen" Strecke. Der Umfang an der Innenseite der Strecke beträgt 400 m.

Es gibt zwei gerade Strecken von jeweils 100 m Länge. Und die Breite beträgt 16 m. Es gibt keine geometrische Form, die genau der gesamten Strecke entspricht. Sie besteht aus mehreren verschiedenen Formen, 2 Rechtecke und 2 Kreisbögen. Die Strecke ist also eine komplexe Form.

Und wir müssen die geraden Strecken und die Kurven einzeln berechnen. Die geraden Strecken sehen wie Rechtecke aus. 100 m lang und 16 m breit. Der Flächeninhalt einer gerade Strecke beträgt also: 100 Meter ⋅ 16 Meter. Das ergibt: 1600 m².

Es gibt zwei identische gerade Strecken, die zusammen also 1600 ⋅ 2 ergeben. Das macht 3200 m². Aber diese Kurven, diese Kreisbögen? Wie könnten wir deren Flächeninhalt berechnen? Wenn wir beide Kreisbögen so hier zusammenlegen, ergibt das 2 Kreise, einen im anderen.

Und die Gesamtfläche der 2 Kurven der Strecke ergibt sich aus Flächeninhalt des äußeren Kreises - Flächeninhalt des inneren Kreises. Eine Kreisfläche ergibt sich aus Pi ⋅ Radius². Wir müssen also den Radius herausfinden. Das ist tricky, aber machbar. Der Umfang an der Innenseite der gesamten Strecke beträgt 400 m.

Wenn wir die geraden Strecken mit jeweils 100 m abziehen, bleiben noch 200 m vom Umfang übrig. Das ist der Umfang des inneren Kreises. Der Umfang des Kreises, 200 m, ergibt sich aus Pi ⋅ Durchmesser. Teile durch Pi auf beiden Seiten des Istgleich-Zeichens. Der Durchmesser ist 200 / 3,14, was ungefähr 64 Meter entspricht.

Und der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. Die Hälfte von 64 ist 32. Der innere Kreis hat einen Flächeninhalt von: Pi ⋅ 32², was ungefähr 3217 m² ergibt. Der Radius des äußeren Kreises ist 32 + die Breite der Strecke, 16 m, also insgesamt 48 m. Der äußere Kreis hat dann einen Flächeninhalt von Pi ⋅ 48², was in etwa 7238 m² sind.

Der Flächeninhalt der 2 Kurven der Rennstrecke ergibt sich aus Außenfläche des Kreises - Innenfläche. Jenny rechnet das aus: 4021 m². Wie viel Asphalt braucht sie also? Addieren wir zu der Fläche der geraden Strecken, 3200, die Kurven, 4021. Das ergibt 7221 m².

Es bekommen also 7221 m² eine neue Oberfläche! Da kommt Jennys Chef. Ah! Die Autos brauchen eine Stelle zum Einsteigen, Tanken und Reifenwechseln. Diese Boxengasse hat eine Trapezform.

Die kurzen Seiten sind gleich lang, also ist das Trapez gleichschenklig. Die Seiten sind 13 m lang. Die Seite an der Rennstrecke ist 100 m lang und die andere, parallele Seite ist 90 m lang. Die Boxengasse ist 12 m breit. Wir erhalten die Fläche, indem wir die beiden langen Seiten addieren und dann durch 2 teilen.

100 + 90 / 2 = 95. Dann multiplizieren wir die Antwort mit der Breite der Gasse, 12. Der Flächeninhalt des Trapez' beträgt 1140 m². Zusammen mit dem Rest der Rennstecke ergibt das 7221 + 1140, also etwa 8400 m², die erneuert werden. Da musste Jenny für die Fläche der ganzen Strecke viel rechnen, eine komplexe Fläche - und dazu die Boxengasse!

Jetzt hat sie sich eine Pause verdient. Aber warte mal, die Strecke wurde ... noch nicht erneuert.