Sistemas de ecuaciones lineales

María se va en su coche nuevo a ver a Mikhail. Mikhail se va en bici a ver a María. La velocidad de María es tres veces mayor que la de Mikhail. Mikhail y María viven a ocho kilómetros de distancia. ¿Dónde y cuándo van a cruzarse? Esto se puede resolver con la ecuación de la recta. "Y" va a representar la distancia desde la casa de María.

María sale de casa, donde Y es 0. Está a 0 kilómetros de su casa. Mikhail empieza a 8 kilómetros de distancia. El eje X va a representar el tiempo en minutos. La velocidad de Mikhail es de 0.3 kilómetros por minuto.

Eso son alrededor de 20 kilómetros por hora. El movimiento de Mikhail se puede describir con la ecuación de la recta: -0, 3x + 8. ​ -0, 3x significa que la distancia a la casa de María disminuye en 0.3 km por minuto. Un minuto se corresponde con un punto en el eje X. El ocho significa que a la salida, cuando el tiempo X es 0, (cuando Mikhail aún sigue en el eje Y), está a ocho km de la casa de María. María va a una velocidad tres veces mayor que Mikhail.

A 0.9 kilómetros por minuto, o, a un poco más de 50 kilómetros por hora. La distancia entre María y su casa aumenta a medida que María avanza. Por lo tanto, la tasa de variación, o el valor de K, es positiva. Al principio María está en casa, de modo que m, o la distancia a su casa, es 0. Mikhail y María se mueven el uno hacia el otro y se encuentran aquí.

El diagrama nos indica dónde y cuándo. Las dos rectas se cruzan donde Y es igual a seis. Es decir, se cruzan a seis kilómetros de la casa de María, y han tardado entre seis y siete minutos. Así, gráficamente, podemos resolver un sistema de ecuaciones, usando dos rectas. Esto significa que hay que buscar valores únicos para X e Y, y resolver las dos ecuaciones al mismo tiempo buscando el punto de convergencia.

También se puede resolver con álgebra, sin gráficas. Lo que estamos buscando es un punto en el que tanto la ecuación de Mikhail como la de María tengan el mismo valor. O donde Y1 sea igual a Y2. Si hay un valor donde los dos lados izquierdos son iguales, entonces también los dos lados de la derecha serán iguales. Hagamos una ecuación a partir de los dos lados de la derecha de las dos ecuaciones.

Solamente serán iguales para un único valor de x. Resolvamos la ecuación dejando la X sola a un lado. La X indica los minutos que transcurren hasta que Mikhail y María se encuentran. Cuando se encuentran, X es igual a 6 y 2/3, o, han transcurrido 6 minutos y 40 segundos. Ahora podemos introducir este valor en una de las ecuaciones originarias.

Sirve cualquiera porque tanto Mikhail como María están en el mismo sitio en determinado momento. La ecuación de María es un poco más sencilla así que vamos a coger esa. Resolvamos Y. Para cuando se cruzan, están exactamente a seis kilómetros de la casa de María. Comparemos la solución con la del diagrama y comprobemos si es la misma.

Para resolver un sistema con dos ecuaciones lineales de manera gráfica, hay que dibujar las dos líneas de un sistema de coordenadas y buscar las coordenadas X e Y del punto donde se cruzan las dos rectas. Dos rectas pueden cruzarse aun cuando sus pendientes tengan el mismo signo. Siempre que las pendientes de las rectas sean diferentes, las rectas se cruzarán en algún momento. Pero si las dos rectas son paralelas, nunca se cruzarán. En ese caso, el sistema de ecuaciones no tiene solución.