El área de un círculo

Aquí tenemos una tortita. ¿Cuánto mide? ¿Qué área tiene? Calcular el área de un círculo es algo que le ha dado quebraderos de cabeza a todas las antiguas civilizaciones humanas. Uno de los grandes matemáticos, Arquímedes de Siracusa, dio con una manera de hacerlo. Si dividimos un círculo en partes cada vez más pequeñas, al final acabaremos obteniendo un rectángulo. Y calcular el área de un rectángulo es fácil.

Empieza por dividir el círculo en cuartos y luego junta los cuatro sectores del círculo de esta manera, como si fueran un rectángulo. Bueno, no se parece del todo a un rectángulo... Vuelve a dividir los sectores y obtendrás ocho, y luego 16. Si cambias de sitio esta media pieza, empieza a parecerse a un rectángulo. Si sigues dividiéndolo, al final la tortita acabará siendo una papilla.

Pero ya ves el patrón: Cada vez que lo divides, la forma se va pareciendo más y más a un rectángulo. La base ondulada del rectángulo se alisa cada vez más a medida que surgen sectores más pequeños. Una tortita dividida infinitamente será un rectángulo perfecto. ¿Ves lo que le ocurre a la circunferencia de la tortita si la divides? Se endereza y una mitad acaba en la parte de arriba del rectángulo y la otra mitad en la parte de abajo. Así la base del rectángulo es la mitad de la circunferencia del círculo, y conviene saberlo a la hora de calcular su área.

Pero, ¿y la altura del rectángulo? ¿De dónde la sacamos? Fíjate en los cortes que hemos hecho en la tortita. Son los radios del círculo. Esos cortes se alisan cada vez más hasta acabar estando en perpendicular con la base. La altura de este rectángulo, por lo tanto, es el radio del círculo.

Así que ahora ya tenemos tanto la base como la altura, y el área de un rectángulo es base por altura, B x H. La base de este rectángulo es la mitad de la circunferencia del círculo: O/2. La altura del rectángulo es el radio del círculo, R. Tras llegar hasta aquí, el siguiente paso le resultó fácil a Arquímedes porque ya había logrado calcular el valor de Pi con dos decimales. Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Ahora no te pierdas. La circunferencia es el diámetro por Pi. Sustituye O por D x Pi, y el diámetro será el doble del radio. Sustituye D por 2 x R. Ahora simplifiquemos.

2/2 es 1, así que esto desaparece. Y R x R es R al cuadrado. No hay que escribir el signo de multiplicar. Así que: el área de un círculo es Pi x R al cuadrado. ¿Lo has entendido? Vuelve a echarle un vistazo si es que te has perdido.

Fíjate en cómo el radio del círculo se convierte en la altura y en cómo la mitad de la circunferencia se convierte en la base. Probemos ahora con la fórmula. He aquí un círculo de diámetro 28 metros. Tal vez una piscina... ¿Cómo calculamos el área de la piscina? Usemos la fórmula.

El área de un círculo es igual a Pi por el radio al cuadrado. Pi equivale más o menos a 3.14 y el radio es la mitad del diámetro: 28 / 2. Ahora sólo hay que usar la calculadora. Detén el vídeo si quieres. Lo que hay que saber en este caso es el orden de las operaciones.

Primero los paréntesis, luegos los exponentes y por último la multiplicación. El área es de 615.44 metros cuadrados. Como hemos medido el diámetro en metros, obtenemos la solución en metros cuadrados. También se puede hacer el cálculo añadiéndole más decimales a Pi. Verás que la respuesta contiene números un poco más grandes.

Para hacer esto sólo hay que saber una cosa de memoria: el área de un círculo es Pi por el radio al cuadrado. Si te resulta difícil entender este vídeo, mira los vídeos sobre la circunferencia de un círculo, el área de un rectángulo y el de los números irracionales. Todos ellos están relacionados entre sí.