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Las escalas del área y del volumen
El cubo grande, cuyos lados miden 10, ha sido reducido de manera que ahora los lados miden 1. ¿A qué escala está el volumen?
Leon entrena a un pequeño equipo de fútbol. Necesita un mapa del campo de fútbol para cuando dé las instrucciones. El campo real mide 70 metros por 40 metros. Leon lo dibuja a escala 1: 200. Un metro real en el campo equivale a 2 centésimas de metro en el mapa, o a medio centímetro.
Ha quedado muy pequeño. Leon necesita un mapa el doble de grande. Así que empieza de nuevo, ahora con la escala 1:100. Un metro real del campo equivale a un centímetro en su mapa: media escala - el doble del tamaño. Pero, un momento. ¿El mapa nuevo no tendría que ser el doble de grande?
Ahora es cuatro veces más grande. ¿Cómo puede ser eso? Fíjate bien. El dibujo más grande es el doble de alto y el doble de ancho que el dibujo más pequeño, pero su área ha aumentado cuatro veces. Ésa es la diferencia entre una escala lineal y una escala de áreas. Seguro que recuerdas que medimos la distancia en metros y el área en metros cuadrados. Las escalas funcionan de la misma manera.
La escala del área es igual a una escala lineal al cuadrado. El mapa pequeño está trazado a una escala lineal de 1:200. Si colocases 200 de estos dibujos uno al lado del otro, se extenderían hasta recorrer todo el campo de fútbol. Esto es una escala lineal. Si elevas 200 al cuadrado, el resultado será 40 mil.
De modo que la escala del área es de 1:40,000. Hacen falta 40,000 dibujos pequeños para cubrir todo el área del campo de fútbol. El dibujo más grande tiene una escala lineal de 1:100. Y 100 al cuadrado son 10 mil. Así que la escala del área es de uno a diez mil.
El dibujo más grande está a mitad de la escala lineal, pero a un cuarto de la escala del área. Podemos ir un paso más allá y hacerlo en tres dimensiones. Aquí tenemos un dado. Sus cantos miden un centímetro y su volumen es de un centímetro cúbico. Vamos a hacer una maqueta del dado a una escala lineal de 2:1, o, vamos a hacerlo el doble de grande.
Los lados pasan a medir dos centímetros, pero ¿qué pasa con el volumen? El volumen pasa a medir uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho centímetros cúbicos. La escala del volumen es igual a la escala lineal elevada a tres, o al cubo. La gente cuando dice a escala casi siempre se refiere a la escala lineal, pero tienes que tener cuidado porque al aumentar o disminuir las dimensiones de una escala lineal, el área también aumenta o disminuye, pero a una escala lineal al cuadrado. Y el volumen aumenta o disminuye a una escala lineal al cubo.
La escala del área es igual a la escala lineal al cuadrado. La escala del volumen es igual a la escala lineal al cubo.