Resolución de ecuaciones de segundo grado mediante el método de producto cero

¡Hola, Kim! ¿Ves ese doce de ahí? ¿Sabrías separarlo en varios factores? Cierto. Lo has aprendido. Doce es igual a tres por cuatro. Y como cuatro es igual a dos por dos, podemos ponerlo así: Doce igual a tres por dos por dos.

Acabamos de factorizar. Hemos cogido el número doce y lo hemos escrito como un producto de tres factores. Se pueden factorizar todos los números compuestos (aquellos números que no son primos), pero también se pueden factorizar las expresiones matemáticas. Por ejemplo, fíjate en la expresión X al cuadrado más tres X. La expresión consta de dos términos y los dos tienen el factor X en común.

Podemos sacar la X y escribir la expresión así: X por "X más tres" - entre paréntesis. Hemos escrito la expresión como un producto de los factores "X" y "X más tres". Hemos factorizado la expresión. Veamos otro ejemplo. ¿Se puede factorizar la expresión "dos X al cuadrado" más "8 X" más "8"? Todos los factores tienen en común el factor dos.

Así que podemos quitar el dos y la expresión queda: "dos" por (abrimos paréntesis), "X al cuadrado" más "cuatro X" más "cuatro" (cerramos paréntesis). Fíjate en la expresión entre paréntesis. ¿No te recuerda a algo? ¿Te acuerdas de la primera regla del cuadrado de un binomio? Hay un vídeo sobre ello. La expresión que vemos aquí sigue el mismo patrón que cuando expandimos un binomio usando la primera regla del cuadrado de un binomio. Hagamos la prueba, yendo hacia atrás. "X al cuadrado" más "cuatro X" más "cuatro" es igual a (X más dos) elevado al cuadrado.

Esto significa que podemos escribir la primera expresión como: "dos por X" más "dos elevado al cuadrado", con lo que hemos hecho una factorización en múltiples pasos. ¿Y esta expresión? ¿También se puede factorizar? En este caso podemos usar la segunda regla del cuadrado de un binomio, y vemos que la expresión es igual a "X menos cuatro" elevado al cuadrado. ¿Para qué nos sirve esto? Se pueden resolver ecuaciones de segundo grado usando la factorización. Volvamos a la primera expresión: "X al cuadrado" más "tres X". Pongamos la expresión en el lado izquierdo de una ecuación, y en el lado derecho ponemos un cero; así. ¿Cómo se resuelve esta ecuación?

Factorizamos como hemos hecho antes. En este caso sacamos la X y escribimos: "X" por "X más tres" igual a cero. Cualquier número multiplicado por cero siempre da cero. Esto significa que si uno de los factores es cero, toda la expresión es igual a cero. Y así es como damos con la solución de la ecuación.

Si X es igual a cero, toda la expresión es igual a cero. De modo que "X igual a cero" es una de las soluciones de la ecuación. Para dar con la otra solución, tenemos que "X más tres" es igual a "cero", por lo que," X" es igual a "menos tres", es la segunda solución de la ecuación. Pongamos otro ejemplo más usando una expresión que hemos visto hace poco. Si decimos: "dos X al cuadrado" más "ocho X" más "ocho" igual a "cero", ¿cómo se resuelve esta ecuación?

Si factorizamos, la parte izquierda pasa a ser: "dos" por "X más dos" elevado al cuadrado. Y también es igual a cero. Los dos lados pueden dividirse entre dos. Sacamos el dos de aquí, y cero entre dos sigue siendo cero. Eso significa que "X más dos" elevado al cuadrado también es igual a cero.

Nos estamos acercando a la solución de la ecuación al escribir "X más dos" es igual a cero. X es igual a menos dos. De modo que se pueden resolver algunas ecuaciones de segundo grado factorizando las expresiones. Se empieza reescribiendo la ecuación de tal manera que en la derecha ponga cero. Mira si se puede factorizar la parte izquierda.

Hay que buscar patrones como un denominador común, una diferencia de cuadrados y las dos reglas del cuadrado de un binomio. Si se puede factorizar, se puede averiguar la solución de la ecuación si uno de los factores puede establecerse como cero. ¡Y a resolver la ecuación! ¡Pues esto es la factorización!