Construir ángulos y bisectrices sin transportador

Para dibujar ángulos podemos usar un transportador, pero también se puede hacer de otra manera: usando un compás y una regla. Hagamos la prueba. Para empezar vamos a dibujar un ángulo recto: 90 grados. Trazamos una recta entre dos puntos. En un extremo escribimos una A mayúscula y en el otro, una B mayúscula.

Colocamos la aguja del compás en el punto A. Ajustamos el compás para tener un radio mayor que la mitad de la distancia que hay entre A y B. Ahora trazamos un arco por encima y por debajo de la recta. Luego, sin cambiar la apertura del compás, colocamos la punta sobre el punto B y hacemos lo mismo que antes: trazamos un arco por encima y por debajo de la recta. Los arcos que acabamos de hacer tienen que cortar los primeros.

Escribimos C y D en los puntos donde se cruzan. Ahora unimos C y D con una recta y en el punto donde esta recta se cruza con la recta AB, escribimos E. Dado que no hemos cambiado la apertura del compás, las distancias entre los puntos A y C, B y C, A y D y B y D tienen la misma largada. ¿Correcto? ¡Porque todas las distancias equivalen al radio del compás! Es más: el punto E está justo a medio camino entre A y B... y todo esto significa que los ángulos en el punto E miden exactamente 90 grados.

A veces se puede querer dividir un ángulo en dos partes iguales. Al hacerlo, la línea que divide dicho ángulo recibe el nombre de bisectriz. Hagámoslo con el ángulo recto que acabamos de dibujar. ¿Y cómo? Pues así: Colocamos la aguja del compás en el punto E. Trazamos un arco que pase por las rectas AB y CD.

Mantenemos el mismo radio en el compás y colocamos la aguja en el punto donde el arco pasa por CD. Trazamos otro arco entre las rectas AB y CD. Seguimos con el mismo radio del compás. Hacemos otro arco más, ahora con la aguja del compás donde el arco pasa por AB y trazamos una recta desde E hasta el punto donde se cruzan los arcos. Dado que el radio del compás no ha cambiado, los arcos van a cruzarse exactamente a la misma distancia de C y de B.

Eso significa que si trazamos una recta desde ese punto hasta el punto E, el ángulo recto de E quedará dividido en dos partes iguales, es decir, en dos ángulos de 45 grados. Sin la ayuda de un transportador hemos dibujado un ángulo de 90 grados y lo hemos dividido en dos ángulos de 45 grados. Hagamos ahora ángulos de 60 grados. En un triángulo equilátero todos los ángulos miden 60 grados. Saber esto va a ayudarnos.

Cogemos un compás y una regla. Primero trazamos una recta entre dos puntos a los que vamos a llamar P y Q. Colocamos la aguja en P y hacemos un arco que vaya a Q. Eso significa que el radio equivale a la longitud de la recta PQ. Hacemos lo mismo con la aguja en Q y trazamos un arco que vaya a P.

Al punto donde se cruzan los arcos lo llamaremos R. Ahora trazamos una recta entre P y R y entre Q y R. El radio del compás tenía la misma longitud que al trazar las rectas PQ y QR. Ya tenemos un triángulo con los tres lados iguales - un triángulo equilátero - y por lo tanto, el ángulo entre las rectas es de 60 grados. Para dibujar ángulos de otros grados hay que combinar los ángulos de 60, 90 ó 45 grados.

135 grados es igual a 90 más 45. 150 grados es igual a 90 más 60. 15 grados es igual a 60 menos 45... Y sigue y sigue y sigue.