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Cómo calcular el área de una figura compleja
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Cómo calcular el área de una figura compleja
A Jenny le encantan los coches; trabaja en un circuito de carreras. El circuito ya es viejo y hay que volver a asfaltarlo. Jenny calcula cuánto asfalto hará falta. Este es el plano del circuito... más o menos "ovalado".
El perímetro interior del circuito es de 400 metros. Hay dos tramos rectos de 100 metros de largo cada uno y el ancho es de 16 metros. No hay una figura geométrica exacta para todo el circuito. Está compuesto por varias figuras: dos rectángulos y dos arcos, es decir, el circuito es una figura compleja. Tenemos que calcular los tramos rectos y las curvas por separado.
Los tramos rectos son como rectángulos. 100 metros de largo y 16 metros de ancho. El área de un tramo es, por lo tanto, de 100 metros por 16 metros, lo que da 1600 metros cuadrados. Como hay dos tramos rectos iguales, juntos hacen 1600 por 2, es decir, 3200 metros cuadrados. Pero, ¿y las curvas? ¿ Esos arcos? ¿Cómo vamos a calcular su área?
Si juntamos los dos arcos así, obtenemos dos círculos, uno dentro del otro. Y el área total de los dos tramos curvados del circuito de carreras es igual al área del círculo exterior menos el área del círculo interior. El área de un círculo es pi por el radio al cuadrado. Así que hay que averiguar el radio. Es un poco complicado, pero se puede hacer.
El perímetro interior de todo el circuito de carreras es de 400 metros. Si restamos los tramos rectos, que miden 100 metros cada uno, quedan 200 metros de perímetro. Esa distancia equivale al perímetro del círculo interior. El perímetro del círculo, 200 metros, es igual a pi por el diámetro. Dividimos entre pi a ambos lados del signo igual.
El diámetro es igual a 200 entre 3,14 [3.14], que da aproximadamente 64 metros. El radio es la mitad de ese diámetro. La mitad de 64 es 32. El área del círculo interior mide: pi por 32 al cuadrado, que da aproximadamente 3217 metros cuadrados. El radio del círculo exterior es 32 más la anchura del circuito, 16 metros, que da 48 metros.
Entonces el área del círculo exterior es pi por 48 al cuadrado, que da aproximadamente 7238 metros cuadrados. El área de las dos curvas del circuito de carreras es igual al área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Jenny lo calcula y le da 4021 metros cuadrados. Entonces, ¿cuánto asfalto va a necesitar? Suma el área de los tramos rectos, 3200, más el de las curvas, 4021.
Eso hace un total de 7221 metros cuadrados. Así que habrá que asfaltar ¡7221 metros cuadrados! Aquí llega el jefe de Jenny. ¡Ah! Hace falta un sitio para los coches donde puedan repostar y cambiar neumáticos - un box; y tiene forma de trapezoide. Los lados cortos del trapezoide miden lo mismo, así que es isósceles.
Los lados miden 13 metros. El lado que da al circuito mide 100 metros de largo y su lado paralelo mide 90 metros. El box tiene 12 metros de ancho. El área la obtenemos sumando los dos lados largos y dividiéndolos entre 2: 100 más 90 entre 2 igual a 95. Luego multiplicamos la respuesta por el ancho del circuito, 12.
El área del trapezoide es de 1140 metros cuadrados. Sumado al resto del circuito, hay 7221 más 1140, unos 8400 metros cuadrados que asfaltar. Jenny ha tenido que hacer muchos cálculos para averiguar el área total del circuito de carreras: ¡la figura compleja más el box! Se merece un descanso. Pero, un segundo. ¡Si aún no lo han asfaltado!