Mikael och Maria bor åtta kilometer ifrån varandra. Maria är på väg till Mikael i sin nya bil och Mikael cyklar, för att möta Maria. Maria åker tre gånger så fort som Maria.

Var kommer de mötas, och när?

Vi kan lösa det här, med den räta linjens ekvation!

Den grafiska lösningen

Låt y representera avståndet från Marias hus.

Maria startar hemifrån, där y är noll. Hon är ju noll km från sitt eget hus. Mikael startar åtta kilometer därifrån.

Låt x-axeln visa tid, i minuter.

Låt Mikaels hastighet vara 0,3 kilometer per minut, eller ungefär 20 kilometer i timmen. Mikaels förflyttning kan nu skrivas med den räta linjens ekvation.

y = -0,3x + 8

-0,3x betyder att avståndet till Marias hus minskar med 0,3 kilometer varje minut. En minut är ett steg på x-axeln. 8 betyder att från början, när han har åkt i 0 minuter så är han 8 kilometer från Marias hus. Det verkar ju stämma med vad vi vet.

Maria kör tre gånger så fort som Mikael, 0,9 kilometer per minut, alltså strax över 50 kilometer i timmen. Hon ökar avståndet mellan sig och sitt hem när hon kör. Hennes förändringstakt, k-värdet, är positivt. Hon är hemma till att börja med, så m, eller avståndet till Marias hus, är 0 vid starten.

y = 0,9x + 0

Mikael och Maria kör mot varandra, och vi kan läsa av från diagrammet var och när de möttes.

De två linjerna korsas där y är lika med 6. Så de möttes sex kilometer från Marias hus och det tog dem mellan sex och sju minuter. På det här sättet kan du lösa ett ekvationssystem med räta linjer grafiskt.

Det innebär att hitta det unika värde för x och y som löser båda ekvationerna samtidigt, genom att hitta skärningspunkten.

Den algebraiska lösningen

Det här kan du också göra algebraiskt, utan att rita ut några grafer i ett diagram.

Det du letar efter är en punkt där både Mikaels och Marias ekvation ger samma värde, där y₁ och y₂ är likamed varandra.

Om det finns ett värde där de båda vänsterleden är lika, då betyder det att högerleden också är lika.

Ta de båda högerleden från de två ekvationerna och skriv ihop till en ekvation. De här kommer bara att vara lika vid ett enda värde för x.

Lös ekvationen så att du har x ensamt i ena ledet. x betyder efter hur många minuter möts Mikael och Maria. Där är tiden!

De möts när x är lika med 6 + 2/3 minuter. Alltså efter 6 minuter och 40 sekunder.

Nu kan du sätta in det här värdet i en av de ursprungliga ekvationerna. Vilken som helst av dem duger, eftersom Mikael och Maria båda är på samma plats vid exakt den här tidpunkten. Marias ekvation är lite enklare, så vi tar den.

y = 0,9 (6 + 2/3) + 0 =

= 0,9 · 20/3 =

= (9 · 20) / (10 · 3) =

= 18 / 3 = 6

Vid tiden de träffas är de exakt 6 kilometer från Marias hus. Jämför med lösningen från diagrammet och kolla att vi fick samma svar.

Sammanfattning

Att lösa ekvationssystem med två linjära ekvationer grafiskt innebär att rita in dem i ett koordinatsystem och läsa av x- och y-värdena där de korsas.

Två linjer kan korsas även om båda har positiv eller båda har en negativ lutning.
Så länge linjernas lutning är olika, kommer de korsas förr eller senare.
Men om två linjer har samma lutningskoefficent kommer de aldrig att korsas - då är de ju parallella. I sådana fall finns det ingen lösning till ekvationssystemet.

Lineaariset yhtälöryhmät