Det är något särskilt med primtal. Du vet, de där talen som inte kan delas jämnt med något annat än 1 och sig själv. (Har du inte hört talas om primtal? Titta då på filmen om rektangeltal först, och kom tillbaka hit sen.)

Euklides var en av de gamla grekerna. Han levde i Alexandria, i nuvarande Egypten, för sådär 2300 år sedan. Redan då visste de att det var något märkvärdigt med de där talen som inte går att göra rektanglar av.

Och fortfarande är primtal ett område där det finns flera olösta gåtor, som håller matematiker uppe på nätterna. Det är nämligen inte alldeles lätt att testa om ett väldigt stort tal är ett primtal eller inte.

Just den här egenskapen, att det tar tid att testa vilka tal som är primtal, är grunden i den typ av kryptografi som används för att göra säkra dataöverföringar över internet.

Mönster bland primtal

Här är alla primtal som är mindre än 100 markerade i rött. De ser inte ut att komma särskilt regelbundet, eller hur? Men några mönster finns det faktiskt bland primtalen.

Alla utom det första primtalet är udda. Och så måste det ju vara, för ett primtal är ett heltal som är större än 1, som inte kan delas på något annat än 1 och sig själv. Och jämna tal kan ju delas på 2. Så jämna tal, utom 2, kan inte vara primtal.

Nästa mönster som går att se är att primtalen ofta kommer två och två. Alltså, som två på varandra följande udda tal. De kallas för primtalstvillingar. Inte så användbart kanske, men en märkvärdig egenskap som har förbryllat matematiker i flera tusen år.

Ett tredje mönster är att primtalen kommer ganska tätt i början, men att avståndet mellan dem blir större och större.

Men även om det blir glesare mellan primtalen ju större de blir så tar de aldrig slut. Det finns oändligt många primtal. Det kunde redan Euklides visa.

Faktorisera

Tal som inte är primtal, alltså de du kan göra rektanglar av, kallas sammansatta tal. Det är de du kan dividera med något annat än 1 och sig själv och få en jämn kvot.

Kolla på det sammansatta talet 18. Det kan du dela upp i faktorer - faktorisera. En rektangel vi kan göra är 2 · 9. Går det att faktorisera vidare? 2 är ett primtal, så det kan du inte faktorisera. 9 kan du däremot faktorisera till 3 · 3. Inte bara en rektangel, utan en kvadrat.

Så, nu är det bara primtal kvar. Du har primtalsfaktoriserat 18 till 2 · 3 · 3.

Om du vänder bilden upp och ner ser det lite ut ett träd. Detta kallar vi för ett faktorträd.

Jämna tal

Jämna tal kan du direkt faktorisera med 2. Och känner du igen ett tal från gångertabellen kan du dela upp dem snabbt.

98 är jämnt, så vi bryter ut 2.

98 = 2 · 49

49 känner vi igen från sjuans gångertabell.

98 = 2 · 49 = 2 · 7 · 7

Nu är vi färdiga. Vi har uttryckt 98 som en produkt av primtal. Primtalsfaktorisering av 98 blir 2 · 7 · 7.

Sammanfattning

Primtal är de heltal större än ett som inte kan delas jämt på annat än ett och sig själv
Faktorisera: Dela upp i faktorer.
Faktorträd: Stegvis uppdelning i faktorer.

Alkuluvut: Jako tekijöihin