Nu är det dags för glass igen! Leon är egentligen inte så förtjust i glass, men han gillar själva struten. Därför bryr han sig inte om volymen - Leon vill ha den glass vars strut har störst area. Vilken strut ska han välja?

En glasstrut är en rak cirkulär kon, fast man brukar rita en kon på andra hållet. Den raka cirkulära konen har en cirkelrund basyta och en avsmalnande mantelyta som möts i en punkt rakt ovanför cirkelns mittpunkt.

Avståndet från toppen av konen rakt ner till basytan är konens höjd, som betecknas med h.

Avståndet från konens topp snett ner till basytans ytterkant är konens sida, s.

Basytans radie kallar vi för r.

Om man klipper upp konen längs med dess sida och sen viker ut den så den blir platt så blir det en cirkelsektor.

Konens sida som är cirkelsektorns radie och omkretsen runt konens basyta är dess båglängd.

Om du kan mäta cirkelsektorns vinkel kan du räkna ut dess yta, och det är ju konens mantelyta.

Men om du inte kan vika ut konen såhär och mäta vinkeln så finns ett annat sätt.

Cirkelsektorns yta är

A = π s² v/360

där v är cirkelsektorns vinkel
och s är dess radie.

Tänk dig att du delar in cirkelsektorn i flera smala trianglar.

I början är trianglarnas bas långt från sektorns cirkelbågen men delar vi in sektorn i tillräckligt många smala trianglar så kommer till slut basen i varje triangel följa sektorns cirkelbåge.

Den sammanlagda arean av de många smala trianglarna kommer då närmare och närmare arean av cirkelsektorn och därmed också konens mantelyta. Var och en av trianlgarnas area är basen gånger höjden genom 2.

Om vi delar in cirkelsektorn i 8 lika stora trianglar kan vi skriva

Eftersom varje term har en gemensam faktor s/2 kan vi skriva om uttrycket till

s/2 gånger summan av alla trianglarnas små baser. Och hela den summan i parentesen är ju egentligen sektorns cirkelbåge, vilket är omkretsen på konens bas, alltså 2πr.

Och nu är vi nästan i mål. Förkorta bort tvåorna, så blir det M = sπr, och där har du den! Formeln för konens mantelyta. Sidan gånger pi gånger radien. s * pi * r. Spir, om du läser ut det.

Men, vänta. Hur får du reda på konens sida om du inte kan mäta den med linjal?

Titta på konen. Basytans radie, höjden och sidan bildar en rätvinklig triangel. Det betyder att om du har två av de tre måtten så kan du räkna ut det tredje med Pythagoras sats.

Då blir s = √(r² + h²).

Allt det här gäller raka, cirkulära koner, alltså inte koner som ser ut såhär.

Sammanfattning

Kartion pinta-ala