För att kunna addera eller subtrahera bråk måste de ha samma nämnare. Ett enkelt sätt som du kanske lärt dig är att förlänga bråken, genom att multiplicera nämnare och täljare med det andra bråkets nämnare. Då blir nämnaren densamma i båda bråken.

Vi tittar på ett exempel.

1/6 + 2/9

Förläng 1/6 med 9, förläng 2/9 med 6 och addera bråken.

9/54 + 12/54 = 21/54

Men det här knepet med att förlänga med det andra talets nämnare är inte alltid så elegant. Om du ska addera eller subtrahera fler än två bråk eller om nämnarna är stora tal så kan du få väldigt stora nämnare att arbeta med, och då blir resten av uträkningen svårare.

Då kan det vara bra att leta efter en mindre gemensam nämnare, kanske till och med den minsta möjliga. Den heter minsta gemensamma nämnare och förkortas MGN.

Att hitta den minsta gemensamma nämnaren

Istället för att multiplicera varje tal med det andra talets nämnare, så faktoriserar vi de båda nämnarna så långt vi kan.

Kolla på exemplet ovan igen.

1/6 + 2/9

6 kan delas upp i 3 · 2. Sen kommer vi inte längre, för 3 och 2 är primtal. (Och primtal, det är ju tal som inte kan delas upp i andra faktorer än 1 och sig själv.)

9 kan delas upp i 3 · 3. Sen är det bara primtal kvar.

Nu skall vi förlänga båda bråkens nämnare, så att de får exakt samma värde.

En trea finns i båda redan från början. Så den behöver vi inte göra något med. Men det första bråkets tvåa måste finnas i det andra bråket också. Så vi förlänger det andra bråket med den.

Då är det bara det andra bråkets trea kvar. Vi förlänger det första bråket med den och nu har vi samma tal i nämnaren i båda bråken. När vi skriver dem i samma ordning så blir det lättare att se.

(1·3) / (2·3·3) + 2·2 / (2·3·3)

På det här sättet blir bråket lite enklare och du behöver inte hantera lika stora tal. 2 · 3 · 3 blir 18, och 1 · 3 + 2 · 2 blir 7. Kvoten blir alltså 7 / 18.

Svaret är detsamma, för 21 / 54 , som vi fick förut, ger samma kvot som 7 / 18.

Lite svårare

Kanske kan du sexans och nians gångertabell så pass bra att du direkt kan se att 18 är det minsta tal som finns i båda? Då har du MGN redan där. För någorlunda små nämnare är det här förstås det allra snabbaste sättet.

Vi tar ett lite svårare tal där du nog inte kan gångertabellen.

26/84 + 7/15

Börja med att dela upp nämnarna i sina faktorer. 84 kan brytas isär till 2 · 42, och 42 till 2 · 21, och 21 är 3 · 7. Sen är det bara primtal kvar. Totalt ser vi att 84 = 2 · 2 · 3 · 7.

Det andra bråkets nämnare kan vi dela upp i 3 · 5. Vi skriver ut additionen med de faktoriserade nämnarna.

26 / (2 · 2 · 3 · 7) = 7 / (3 · 5)

Nu har vi faktoriserat båda nämnarna till primtal och då kan vi inte dela upp dem i mindre faktorer.

Nu förlänger vi bråken, till dess nämnarna blir identiska. Det här blir några fler steg än ovan. Vi börjar från vänster.

2 saknas i den andra nämnaren, så vi förlänger det andra bråket med 2.

Nästa faktor är också en tvåa, och vi gör samma sak med den.

Sen kommer en trea, men den finns redan i det andra bråket, så den behöver vi inte förlänga med.

Den sista faktorn i första bråket är en sjua. Den finns inte i den andra nämnaren, så den förlänger vi med.

I den andra nämnaren har vi bara en femma kvar, som inte redan finns i den första nämnaren, så vi förlänger det första bråket med 5.

Nu består båda nämnarna av exakt samma faktorer, och vi har inte förlängt med mer än vad som krävdes för att nå dit.

Minsta gemensamma nämnaren är alltså 420, men vi kan låter multiplikationen, faktoriserad i sina primtal, stå kvar i nämnaren en liten stund till.

När du har multiplicerat ihop faktorerna i täljarna, nu kan du skriva på gemensamt bråkstreck och addera täljarna.

Summan i täljaren blir 326, som delar en faktor 2 med nämnaren. Den kan vi förkorta bort, och kvar har vi 163. Sen kommer vi inte längre. Nu har täljaren och nämnaren inga gemensamma faktorer.

Då multiplicerar vi ihop faktorerna i nämnaren och får 210.

Kvoten skriver vi ut som

26/84 + 7/15 = 163/210

Primtalsfaktorisering

Det var många steg, och kan kännas svårt när man ser det första gången. Men det är egentligen bara två saker att komma ihåg när du skall hitta MGN med hjälp av primtalsfaktorisering.

Faktorisera båda nämnarna så långt det går - till primtal.
Förläng bråken tills båda nämnarna är identiska, men inte längre.

Nu är båda nämnarna identiska och minsta gemensamma nämnare. Resten är vanlig bråkräkning.

Sammanfattning

Du kan hitta minsta gemensamma nämnaren genom primtalsfaktorisering.
Forst faktoriserar du både nämnare till primtal.
Sedan förlänger du bråken till både nämnare är identiska.

Le plus petit dénominateur commun