Att räkna med potenser

Du vet att potenser används för att skriva upprepade multiplikationer. Och att du tar basen gånger sig själv så många gånger som exponenten visar, eller hur? Nu skall vi räkna med potenser, och vi börjar med multiplikation. Att multiplicera två potenser med samma bas är enkelt. Titta här.

Tre i kvadrat gånger kuben av tre är 3 x 3 ganger 3 x 3 x 3 Det är alltså 3 multiplicerat med sig själv fem gånger. Titta på exponenterna. Du får svaret genom att addera exponenterna. Två plus tre är fem. Tre i kvadrat gånger kuben av tre är lika med tre upphöjt till fem.

Division med potenser fungerar enligt samma princip. En upprepad multiplikation dividerat med en annan upprepad multiplikation gör att du kan förkorta. Förkorta bort faktorer som är likadana i täljare och nämnare - lika många över som under bråkstrecket. Eftersom vi har två serier med upprepade faktorer, kan vi ta bort den kortare upprepningen helt. Det blir fyra gånger fyra delat på ett.

Alltså bara fyra gånger fyra. Eller fyra upphöjt till två. Exponenten i nämnaren visar hur många faktorer du kan förkorta bort från faktorerna du har i täljaren. Du tar alltså bara exponenten i täljaren minus exponenten i nämnaren. Multiplikation och division av potenser med samma bas är detsamma som att addera och subtrahera exponenterna.

Med multiplikation: X upphöjt till A gånger X upphöjt till B är lika med X upphöjt till A plus B Och med division: X upphöjt till A dividerat med X upphöjt till B är lika med X upphöjt till A minus B Det här är den första och den andra potenslagen Nu skall vi göra det lite mer komplicerat. Vad händer om du tar en potens, och exponentierar den igen? Ta två, till exempel. Exponentiera det till tre, och ta sedan det talet i kvadrat. Två upphöjt till tre upphöjt till två.

Skriv ut det som en fullständig multiplikation så kanske du ser vad som händer. Att exponentiera ett tal som redan är en potens, är detsamma multiplicera exponenterna. Det här är den tredje potenslagen: X upphöjt till A, upphöjt till B, är lika med X upphöjt till A gånger B. Här kommer ett intressant fall. Du vet att ett tal, dividerat med sig själv, alltid är ett, eller hur?

Och nu vet du också att den andra potenslagen säger att division av potenser med samma bas är detsamma som att subtrahera nämnarens exponent från täljarens. X upphöjt till fyra delat på X upphöjt till fyra måste alltså vara ett,för vi har ju samma tal i nämnare och täljare. Men det måste också vara lika med X upphöjt till noll, eftersom det är X upphöjt till fyra minus fyra, alltså X uppöjt till noll. Det här betyder att X upphöjt till noll är lika med ett. Faktum är att vilket tal som helst upphöjt till noll, är lika med ett.

Det här är den fjärde potenslagen. Potenser består av en bas och en exponent. Basen ska multipliceras med sig själv, så många gånger som exponenten säger. När du multiplicerar exponenter med samma bas, adderar du exponenterna. Skall du dividera potenser med samma bas, är det bara att subtrahera exponenterna.

En potens av en potens: En exponentierad potens beräknar du genom att multiplicera exponenterna med varandra. Vilket positivt tal som helst, upphöjt till noll, är lika med ett.