Minsta gemensamma nämnare

För att kunna addera eller subtrahera bråk, måste de ha samma nämnare. Ta en sjättedel plus 2 niondelar. Ett enkelt sätt, som du kanske lärt dig, är att förlänga bråken, genom att multiplicera både nämnare och täljare med det andra bråkets nämnare. Då blir nämnaren densamma i båda bråken. Men det här knepet, att förlänga med det andra talets nämnare, är inte alltid så elegant.

Om du skall addera eller subtrahera fler än två bråktal eller om nämnarna är stora tal, så kan du få väldigt stora nämnare att arbeta med, och då blir resten av uträkningen svårare. Då kan det vara bra att leta efter en mindre gemensam nämnare, kanske till och med den minsta möjliga. Minsta Gemensamma Nämnare. Så vi tar samma tal igen. Istället för att multiplicera varje tal med det andra talets nämnare, så faktoriserar vi de båda nämnarna så långt vi kan.

Sex kan delas upp i tre gånger två. Sen kommer vi inte längre, för tre och två är primtal och primtal, det är ju tal som inte kan delas upp i andra faktorer än ett och sig själv. Nio kan delas upp i tre gånger tre. Sen är det bara primtal kvar. Nu skall vi förlänga båda bråkens nämnare, så att de får exakt samma värde.

En trea finns i båda redan från början. Så den behöver vi inte göra något med. Men det första bråkets tvåa måste finnas i det andra bråket också. Så vi förlänger det andra bråket med den. Då är det bara det andra bråkets trea kvar.

Vi förlänger det första bråket med den. Och nu har vi samma tal i nämnaren i båda bråken. Vi kan skriva dem i samma ordning så blir det lättare att se. På det här sättet blir bråket lite enklare och du behöver inte hantera lika stora tal. Svaret är detsamma, för 21/54, som vi fick förut, ger samma kvot som sju artondelar.

Kanske kan du sexans och nians gångertabell så pass bra, att du direkt kan se att 18 är det minsta tal som finns i båda? Då har du MGN redan där. För någorlunda små nämnare, är det här förstås det allra snabbaste sättet. Vi tar ett lite svårare tal, där du nog inte kan gångertabellen. 26 genom 84 plus 7 genom 15.

Börja med att dela upp nämnarna i sina faktorer. 84 kan brytas isär till två gånger 42 och 42 till två gånger 21 och 21, det är ju tre gånger sju. Sen är det bara primtal kvar. Det andra bråkets nämnare kan vi dela upp i tre gånger fem. Nu har vi faktoriserat båda nämnarna till primtal och då kan vi inte dela upp dem i mindre faktorer.

Nu förlänger vi bråken, till dess nämnarna blir identiska. Börja från vänster. Två saknas i den andra nämnaren. Förläng det andra bråket med två. Nästa faktor är också en tvåa, och vi gör samma sak med den.

Sen kommer en trea, men den finns redan i det andra bråket. Så den behöver vi inte förlänga med. Och sista faktorn i första bråket är en sjua. Den finns inte i den andra nämnaren, så den förlänger vi med. I den andra nämnaren har vi bara en femma kvar, som inte redan finns i den första nämnaren, så vi förlänger det första bråket med fem.

Nu består båda nämnarna av exakt samma faktorer, och vi har inte förlängt med mer än vad som krävdes för att nå dit. Minsta gemensamma nämnaren är alltså 420, men vi låter multiplikationen faktoriserad i sina primtal, stå kvar i nämnaren en liten stund till. Multiplicera ihop faktorerna i täljarna. Nu kan du skriva på gemensamt bråkstreck och addera täljarna. Och 326, det kan du förkorta med två.

Nu kommer vi inte längre. Då multiplicerar vi ihop faktorerna i nämnaren och får 210 163/210-ondelar. Det var många steg, och kan kännas svårt när man ser det första gången. Men det är egentligen bara två saker att komma ihåg när du skall hitta MGN med hjälp av primtalsfaktorisering. Ett: Faktorisera båda nämnarna så långt det går - till primtal.

Två: Förläng bråken tills båda nämnarna är identiska, men inte längre. Sådär. Nu är båda nämnarna identiska och minsta gemensamma nämnare. Resten är vanlig bråkräkning. Ett: Faktorisera till primtal Två.

Förläng tills båda är lika