Förlängning och förkortning av bråk

Är det här ett bråktal? Eller är det en division? Man kan säga att bråktal är en division, som du inte har räknat ut ännu. När du räknar enkla tal går det oftast bra att helt enkelt betrakta alla bråk som divisioner, slå dem på miniräknaren, och räkna dem som decimaltal. Men vissa bråktal låter sig inte räknas om till decimaltal utan att avrunda.

Och när du kommer längre i matten, och talen börjar se ut så här, då fungerar det inte lägre att avrunda bråken till decimaltal. Det finns några enkla knep som är bra att kunna utantill, om du vill kunna göra svåra bråk enkla. Här skall du få två av dem: Förlängning, och förkortning. Men vi tar det från början: Bråk har en speciell egenskap, som kan verka lite märklig innan man förstått den. Bråkets värde avgörs inte av vilka tal som står i täljaren och nämnaren, utan av förhållandet mellan talen - hur stora de är i proportion till varandra.

Två tredjedelar är lika mycket som fyra sjättedelar. Det syns ju tydligt. Därför att 2 är en lika stor andel av 3, som 4 är av 6, och som 8 är av 12, och som 3 miljoner är av 4,5 miljon. Bråk uttrycker en andel, ett förhållande, en proportion mellan två tal. Eftersom bråkets värde - kvoten - är detsamma, så länge proportionen mellan talen är densamma, så kan man förstora eller förminska nämnare och täljare utan att förändra bråkets värde.

Så länge man gör det med samma faktor i både nämnaren och täljaren. Här har vi dubblat både täljare och nämnare, och dubblat igen. Och sen har vi multiplicerat både täljare och nämnare med 375 000. Och alla fyra bråken har ändå samma värde, samma kvot. Slå det på räknaren om du inte tror på det.

Det här kallas att förlänga ett bråk. Som i nästan all matematik, så kan du göra det vi just gjorde med multiplikation baklänges, genom att använda division. Då förkortar vi istället ett bråk. Bråket tjugoen tjugoåttondelar kan du förkorta genom att dividera både täljare och nämnare med samma tal. Eftersom både 21 och 28 finns i sjuans gångertabell blir det enkla och snygga tal om vi förkortar med sju.

Tre är en lika stor andel av fyra som 21 är av 28. Täljaren och nämnaren har samma förhållande till varandra. Proportionen är densamma. Att förkorta och förlänga med tio, hundra och tusen är enkelt. Det är ju bara att flytta decimalkommat åt höger eller vänster.

Ta 250 tusendelar. Det kan du förkorta genom att stryka en nolla uppe och nere. Då har du dividerat både täljare och nämnare med tio, och får bråket 25 hundradelar. Vill du fortsätta, och beräkna divisionen, så flyttar du decimalkommat två steg till åt vänster. Det är samma sak som att dividera med hundra.

0,25 genom 1 är lika med 0,25. Multiplicera och dividera som du vill, så länge du gör samma sak i både täljare och nämnare. Men se upp nu, för här kommer en fälla. Här har du tjugofem trettiondelar. 25 genom 30 är ungefär lika med 83 hundradelar.

Säg att du vill förlänga det här bråket till nittiondelar, alltså få nämnaren att bli nittio. Hur gör du då? Det du inte kan göra är att addera eller subtrahera. Titta själv. Adderar du 60 till täljare och nämnare, så får du i och för sig nämnaren att bli 90, men proportionen mellan nämnare och täljare är inte längre densamma.

85 av 90 är ungefär 94 hundradelar, inte 83. Nä, det där tar vi bort. Förlängning och förkortning fungerar bara med multiplikation och division, för det är bara då du behåller proportionen mellan nämnare och täljare. Tänk så här i stället: Vad kan du multiplicera eller dividera 30 med, för att få 90? Tre såklart.

30 gånger 3 är 90. Ta både nämnare och täljare gånger tre. Då har vi 90 i nämnaren, som vi ville, och proportionen mellan nämnare och täljare är fortfarande densamma. Ett bråks värde ges av proportionen mellan täljare och nämnare. Om du multiplicerar, eller dividerar, både nämnare och täljare med samma tal, så behåller du samma proportion, och därmed samma värde.

Det är att förlänga eller förkorta ett bråk.