Cirkelns area

Här är en pannkaka. Hur stor är den? Vad har den för area? Att räkna ut en cirkels area är ett problem som alla tidiga mänskilga civilisationerna har brottats med. En av de riktigt stora inom matematikhistorien, Arkimedes i Syrakusa, kom på hur man kan göra.

Om man delar en cirkel i ett smalare och smalare bitar, så kan man till slut göra en rektangel av den och arean av en rektangel, är ju lätt att räkna ut. Gör så här: Börja med att dela cirkeln i fjärdedelar och lägg de fyra cirkelsektorerna så här, som en rektangel. Nja, nån rektangel ser det ju inte ut som precis. Dela igen, så du får åtta sektorer och igen så får du sexton. Och om du flyttar en halv bit såhär, börjar det likna en rektangel.

Om du fortsätter dela blir det slut bara gegga av pannkakan. Men du kan redan se mönstret: För varje gång du delar, blir formen mer lik en rektangel. Den vågiga basen på rektangeln blir rakare och rakare, ju smalare sektorer du skär. En oändligt delad pannkaka, är en pefekt rektangel. Ser du vad som händer med pannkakans omkrets när du delar?

Den rätas ut, och hälften hamnar i överkant i rektangeln, och hälften i underkant. Rektangelns bas, är alltså halva cirkelns omkrets och det är bra att veta, när vi skall räkna ut arean. Höjden på rektangeln då, vad kommer den ifrån? Titta på snitten där du skurit pannkakan. De är cirkelns radie och de snitten blir rakare och rakare, för att till slut bli helt vinkelräta mot basen.

Den här rektangelns höjd, är alltså cirkelns radie. Så, nu har vi både basen och höjden och en rektangelns area är ju basen gånger höjden. B x H. Basen i den här rektangeln är halva cirkelns omkrets. O delat på två.

Höjden i rektangeln är cirkelns radie. R. När Arkimedes hade kommit så här långt, var nästa steg lätt; för han hade redan tidigare lyckats beräkna värdet av pi (alltså cirkelns diameter i förhållande till dess omkrets) med två decimalers noggrannhet. Häng med nu: Omkretsen är diametern gånger pi. Byt ut O, mot D gånger Pi.

Och diametern, det är ju två gånger radien. Byt D mot 2 x R. Nu kan vi förkorta. 2 / 2 är 1, så det går bort och R gånger R är R-kvadrat. Och gånger behöver vi inte skriva ut.

En cirkelns area är alltså: pi x R i kvadrat. Hängde du med? Titta igen om du tappade tråden. Var uppmärksam på hur cirkelns radie blir höjden, och hur halva omkretsen blir basen. Nu kan vi testa formeln.

Här är en cirkel, med diametern 28 meter. En simbassäng kanske? Hur beräknar vi bassängens area? Vi tar fram formlen: Cirkelns area, är lika med, pi gånger radien i kvadrat. Pi är ungfär 3,14 och radien, är halva diametern.

28 / 2. Sen är det bara att slå på räknaren. Pausa gärna filmen och testa själv först. Här gäller det att kunna prioriteringsreglerna. Först parantesen, sen potensen och sist multiplikationen.

Arean är 615,44 kvadratmeter. Eftersom vi mätte diametern i meter, får vi svaret i kvadratmeter. Du kan också testa att räkna ut arean med fler decimaler i pi. Då kommer du se att svaret blir lite större. Egentligen är det bara en sak du behöver lära dig utantill, för att kunna det här.

En cirkels area är lika med pi gånger radien i kvadrat. Om den här filmen var svår att förstå, så titta på filmerna om cirkelns omkrets, rektangelns area och om irrationella tal. För allt det här hänger ihop.