Yt- och volymskala

Leon är tränare för ett knattefotbollslag. Han vill ha en kartbild av en fotbollsplan, att använda när han ger instruktioner till spelarna. Planen är 70 gånger 40 meter i verkligheten, och Leon ritar upp den i skala ett till två hundra. Varje meter i verkligheten motsvaras av en tvåhundradels meter på kartan, alltså en halv centimeter. Det där blev alldeles för litet.

Leon vill att modellen skall vara dubbelt så stor. Så han tar gör om, med halva skalan. Ett till hundra i stället. Nu är en meter i verkligeheten en centimeter på kartan. Halva skalan, dubbla storleken.

Men vänta lite nu? Skulle inte den nya kartbilden bli dubbelt så stor? Nu är den ju fyra gånger så stor. Hur gick det här till? Jo, titta noga.

Den stora bilden är dubbelt så hög och dubbelt så bred, som den lilla. Men den har fyra gånger så stor yta. Det är skillnad på längdskala och ytskala. Du kommer förstås ihåg att du mäter längd i meter, och yta i meter i kvadrat. Och så funkar det med skalor också.

Ytskalan är lika med längdskalan i kvadrat. Den lilla planen är ritad med längdskalan ett till 200. Lägger du 200 såna bilder efter varandra i en lång rad, räcker de utmed hela sidan på fotbollsplanen. Det är längdskalan. Tar du 200 i kvadrat, har du 40 000.

Så ytskalan är ett till 40 000. Det går åt 40 000 av den lilla bilden, för att täcka hela fotbollsplanens yta. Den stora bilden, har längdskalan ett till 100. Och 100 i kvadrat är 10 000. Så ytskalan är 1 till 10 000.

Den stora planen har halva längdskalan, men en fjärdedel av ytskalan. Vi kan gå ett steg till, och göra det här i tre dimensioner. Här är en tärning. Den har sidan en centimeter, och volymen en kubikcentimeter. Nu gör vi en modell av tärningen, i länngdskala två till ett, alltså dubbelt så lång.

Sidan blir nu två centimeter. Men vad händer med volymen? Den blir ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta kubikcentimeter. Volymskalan är längdskalan upphöjt till tre, i kubik. När man bara säger skala, menar man nästan alltid längdskala.

Men det gäller att vara på sin vakt. För om du skalar upp eller ner storleken med en längdskala, så följer ytan med, med kvadraten på längdskalan. Och volymen följer med, med kubiken på den. Ytskala är lika med längdskala i kvadrat. Volymskala är lika med längdskala i kubik.