Primtal: Faktorisering

Det är något särskilt med primtal. Du vet, de där talen som inte kan delas jämnt med något annat än ett och sig själv. Har du inte hört talas om primtal? Titta då på filmen om rektangeltal först, och kom tillbaka hit sen. Det här är Euklides, en av de gamla grekerna.

Han levde i Alexandria, i nuvarande Egypten, för sådär 2300 år sedan. Redan då visste de att det var något märkvärdigt med de där talen som inte går att göra rektanglar av. Och fortfarande är primtal ett område där det finns flera olösta gåtor, som håller matematiker uppe på nätterna. Det är nämligen inte alldeles lätt att testa om ett väldigt stort tal är ett primtal eller inte. Just den här egenskapen, att det tar tid att testa vilka tal som är primtal, är grunden i den typ av kryptografi som används för att göra säkra dataöverföringar över internet.

Det här är alla primtal som är mindre än 100. De ser inte ut att komma särskilt regelbundet, eller hur? Men några mönster finns det faktiskt bland primtalen. Alla utom det första primtalet är udda. Och så måste det ju vara, för ett primtal är ett heltal större än ett, som inte kan delas på något annat än ett och sig själv.

Och jämna tal kan ju delas på två. Så jämna tal, utom två, kan inte vara primtal. Nästa mönster som går att se är att primtalen ofta kommer två och två. Alltså, som två på varandra följande udda tal. De kallas förprimtalstvillingar.

Inte så användbart kanske, men en märkvärdig egenskap som har förbryllat matematiker i flera tusen år. Ett tredje mönster är att primtalen kommer ganska tätt i början, men att avståndet mellan dem blir större och större. Men även om det blir glesare mellan primtalen, ju större de blir, så tar de aldrig slut. Det finns oändligt många primtal. Det kunde redan Euklides visa.

Tal som inte är primtal, alltså de du kan göra rektanglar av, kallas sammansatta tal. Det är alltså de som du kan dividera och få en jämn kvot. på något annat än 1 och sig själv Ta ett sammansatt tal. Ta 18. Det kan du dela upp i faktorer - faktorisera.

2 x 9 är 18 … och en rektangel. 2 är ett primtal, så det kan du inte faktorisera. men 9 det kan du faktorisera i 3 x 3. En snygg kvadrat. Så, nu är det bara primtal kvar.

Du har primtals-faktoriserat 18 till 2 x 3 x 3 Vänder du bilden upp och ner ser det lite ut ett träd. Så vi kallar det faktorträd. Jämna tal kan du direkt faktorisera med två. Och känner du igen ett tal från gångertabellen kan du dela upp dem snabbt. 98 är jämnt.

Det blir 2 x 49, och 49 känner du igen från sjuans tabell. 7 x 7 är 49.