Tredimensionella figurer
Kuber och rätblock
Kubens och rätblockets yta
Prisman
Cylindrar
Konens mantelyta
![Konens mantelyta](https://static.studi.se/lessons/thumbs_small/MAH190.png)
Konens mantelyta
![Miniatyrbild för video](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fstream.binogi.net%2Fstream%2FMAH190%2FMAH190_XX_en.jpg&w=3840&q=75)
Genom att använda formeln för cirkelsektorn kan man skriva om formen för den totala arean för konen. Hur ser denna formel ut?
Nu är det dags för glass igen. Leon är egentligen inte så förtjust i glass, men han gillar själva struten. Därför bryr han sig inte om volymen. Leon vill han ha den glass, vars strut har störst area. Vilken strut skall han välja?
En glasstrut är en rak cirkulär kon. Fast man brukar rita en kon på andra hållet, så här. Den raka cirkulära konen har en cirkelrund basyta och en avsmalnande mantelyta som möts i en punkt rakt över cirkelns centrum. Avståndet från toppen på konen, rakt ner till basytan, är konens höjd. Avståndet från toppen på konen snett ner till cirkelns ytterkant är konens sida.
Om man klipper upp en kon, utmed sidan, och sen viker ut den så den blir platt… ...då blir det en cirkelsektor. Konens sida är cirkelsektorns radie. Och omkretsen runt konens basyta är cirkelsektorns båge. Om du kan mäta cirkelsektorns vinkel så kan du räkna ut dess yta. Och den är ju konens mantelyta.
Men om du inte kan vika ut konen så här och mäta vinkeln så finns ett annat sätt. Tänk dig att du delar in cirkelsektorn i flera smala trianglar. I början är trianglarnas bas långt ifrån sektorns cirkelbåge. Men delar vi in sektorn i tillräckligt många smala trianglar, så kommer till slut basen i varje triangel följa sektorns cirkelbåge. Den sammanlagda arean av de många smala trianglarna kommer då närmare och närmare arean av cirkelsektorn och därmed också konens mantelyta.
Var och en av trianglarnas area är basen gånger höjden genom två. de här trianglarnas höjd, de är ju konens sida, S. Det här kan vi skriva om med en gemensam faktor, så här. Konens sida genom två, gånger summan av alla trianglarnas små korta baser. Och lägger vi nu ihop alla baserna har vi sektorns cirkelbåge; alltså omkretsen på konens bas.
Och den är pi gånger radien gånger två. Nu är vi nästan i mål. Förkorta bort tvåorna bara. Och där har du den: Formeln för konens mantelyta. Sidan gånger pi gånger radien.
S, Pi, R. Spir, om du läser ut det. Men vänta. Hur får reda på konens sida om du inte kan mäta den med linjal? Titta på konen.
Basytans radie, höjden och sidan bildar en… rätvinklig triangel! Det betyder att har du två av de tre måtten kan du använda Pythagoras sats och räkna ut det tredje. Konens mantelyta är sidan gånger pi gånger radien. Konens hela yta, eller begränsningsyta, är lika med mantelytan plus basytan. Sidan på konen kan du räkna ut med Pythagoras sats.
Och allt det här gäller raka cirkulära koner. Det funkar inte på koner som ser ut så här. ...