Lösning av andragradsekvationer med nollproduktmetoden

Hej Kim! Ser du talet 12 där? Vet du hur man kan dela upp det i flera faktorer? Jadå. Det har du lärt dig: 12 är lika med 3 gånger 4.

Och eftersom 4 är lika med 2 gånger 2 kan vi skriva så här: 12 är lika med 3 gånger 2 gånger 2. Det vi just gjorde kallas för att faktorisera. Vi tog talet 12 och skrev om det till en produkt av tre faktorer. Man kan faktorisera alla sammansatta tal, alltså de som inte är primtal. Men man kan också faktorisera matematiska uttryck.

Titta till exempel på uttrycket x² + 3x. Vi har två termer i uttrycket, och båda termerna har faktorn x gemensam. Då kan vi bryta ut x, och skriva uttrycket så här: x gånger (x+3) inom parentes. Vi har skrivit uttrycket som en produkt av faktorerna x och (x+3). Vi har gjort en faktorisering av uttrycket.

Vi tar ett till exempel. Kan vi faktorisera uttrycket 2x² + 8x + 8? Vi har faktorn 2 gemensam i alla termer. Då kan vi bryta ut 2, och uttrycket är lika med 2 gånger (x² + 4x + 4). Titta nu på uttrycket inne i parentesen.

Påminner det om någonting? Uttrycket går faktiskt att faktorisera ytterligare om vi kommer ihåg den första kvadreringsregeln. Det uttryck vi har i ekvationen nu är ganska likt det vi får när vi använder första kvadreringsregeln. Så vi testar att använda den, fast baklänges: x² + 4x + 4 är lika med (x+2) upphöjt till 2. Det innebär att vårt första uttryck kan skrivas: 2 gånger (x+2) upphöjt till 2, och vi har gjort en faktorisering i flera steg.

Vad kan vi säga om det här uttrycket? Går det också att faktorisera? Här kan vi använda den andra kvadreringsregeln och vi ser att uttrycket är lika med (x-4) upphöjt till 2. Kan vi använda allt det här till någonting? Nu ska vi lösa andragradsekvationer med hjälp av faktorisering.

Vi återvänder till vårt första uttryck: x² + 3x. Om det uttrycket är vänsterledet i en ekvation och om högerledet är noll, så där, hur kan vi lösa ekvationen? Jo, vi faktoriserar, precis som vi gjorde nyss. I det här fallet bryter vi ut x, och då kan vi skriva att x gånger (x+3) är lika med noll. Vad som helst gånger noll är lika med noll.

Det betyder att om någon av faktorerna är lika med noll är hela uttrycket lika med noll. Och det är så vi hittar ekvationens lösning. Om x är lika med noll, är hela uttrycket lika med noll. Alltså är x = 0 en av ekvationens lösningar. Den andra lösningen får vi om x+3 är lika med noll.

Det innebär att x = -3 är ekvationens andra lösning. Vi tar ett exempel till. Vi utgår från ett annat uttryck som vi tittade på nyss. Säg att 2x² + 8x + 8 är lika med noll. Hur löser vi den ekvationen?

Jo, när vi faktoriserade kom vi fram till att vänsterledet kunde skrivas: 2 gånger (x+2) upphöjt till 2, och det är alltså lika med noll. Vi kan dividera båda leden med 2. Ta bort tvåan där och noll dividerat med 2 är fortfarande noll. Det ger att (x+2) upphöjt till 2 är lika med noll. Ekvationen har en lösning som vi hittar genom att sätta (x+2) lika med noll.

x = -2. Vi kan lösa vissa andragradsekvationer genom att faktorisera uttryck. Börja med att skriva om ekvationen så att högerledet är noll. Se om du kan faktorisera vänsterledet. Kontrollera gemensamma nämnare, konjugatregeln och de båda kvadreringsreglerna.

Om vi kan faktorisera hittar vi ekvationens lösning om någon av faktorerna kan sättas till noll. Lös ekvationen. Det är faktorisering.