Lösning av andragradsekvationer med kvadratkomplettering

Det finns olika sätt att lösa andragradsekvationer. Här kommer ett som är rätt elegant. Om du tar dig tid, att verkligen förstå det här, kommer du kunna lösa alla andragradsekvationer, utan att behöva använda någon formel. Titta på den här ekvationen. ‘x kvadrat plus fyra x’ minus fem är lika med noll. Innan vi använder den här metoden måste vi städa lite i ekvationen.

Vi vill samla alla termer som innehåller x i vänsterledet, och vi vill ha den konstanta termen i högerledet. Då får vi ‘x kvadrat’ plus ‘fyra x’ i vänsterledet -- och fem i högerledet. Nu står ekvationen i en form, vi kan använda. Det där som står i vänsterledet: ‘x-kvadrat plus fyra x’, vad betyder det egentligen? Ett sätt att förstå det, är att rita ekvationen.

Vi tar en term i taget. Först har vi ‘x-kvadrat’. Det kan vi se som en kvadrat, där varje sida är x. Arean är ‘x gånger x’, alltså ‘x i kvadrat’. Sedan har vi termen ‘fyra x’.

Det är en rektangel med sidorna x och fyra. Arean, basen gånger höjden, är ‘fyra gånger x’. Om vi lägger ihop kvadraten och rektangeln -- får vi en ny rektangel med arean ‘x-kvadrat’ plus ‘fyra x’. Och ‘x-kvadrat’ plus ‘fyra x’ är lika med fem. Jämför med ekvationen. ‘X-kvadrat’ plus ‘fyra x’ är lika med fem.

Nu kommer tricket. Vi tar vi fram en sax och klipper den lilla rektangeln mitt itu. Då får vi smala rektanglar, som båda har arean ‘två x’. Sen flyttar vi den ena och lägger den här. Vi har inte tagit bort något, vi har inte lagt till något.

Vi har bara flyttat om lite. Den här figuren har samma area som den hade från början. Arean är alltså fortfarande fem. Den nya figuren ser nästan ut som en kvadrat -- men bara nästan. Det fattas lite i det övre högra hörnet.

Vad är det som fattas? En liten kvadrat -- med sidan -- två! Vi kompletterar med den kvadraten. Vi har gjort en kvadratkomplettering. Vad är då arean av den här nya större kvadraten?

Först hade vi fem, och sen kompletterade vi med två gånger två. Arean är fem plus fyra, det vill säga nio. Men vänta nu. Det finns ett annat sätt att beskriva arean på en kvadrat, nämligen sidan i kvadrat. Sidan är x plus två och arean är x plus två i kvadrat.

Och vi vet sen tidigare att det är lika med nio. Med hjälp av vår kvadratkomplettering har vi skrivit om ekvationen vi hade från början: x-kvadrat plus fyra x minus fem lika med noll till x plus två i kvadrat är lika med nio. Sådär, nu har vi gjort det svåra! Nu ska vi lösa ekvationen. Och när vi löser en ekvation med hjälp av kvadratroten finns det två möjliga lösningar.

Alltså är ‘x plus två’ lika med ‘plus minus roten ur nio’, det vill säga ‘plus minus tre’. ‘x-ett plus två’ är då lika med ‘plus tre ’. ‘x-två plus två’ är lika med ‘minus tre’. Vi får två lösningar till ekvationen. ‘x är lika med ett’, och ‘x är lika med minus fem’. Vi har löst en andragradsekvation med hjälp av kvadratkomplettering. Man måste inte rita och flytta rektanglar över pappret. Vi kan använda den här metoden ändå.

Kolla här. Nu ska vi lösa ekvationen ‘två x-kvadrat’ minus ‘åtta x’ plus sex lika med noll. Vi tar det steg för steg. Pausa filmen om du behöver tid att tänka efter. Steg ett.

Koefficienten före x kvadrat ska vara 1, så vi dividerar hela uttrycket med två. Då får vi x kvadrat minus fyra x plus tre lika med noll. Steg två. Samla alla termer med x i vänsterledet, och den konstanta termen i högerledet. Vi skriver om ekvationen till x kvadrat minus fyra x lika med minus tre.

Steg tre. Ta koefficienten före x-termen, i det här fallet minus fyra. Vi ska klippa den mitt itu, det vill säga dela med två. Då blir resultatet minus två. Steg fyra, själva kompletteringen.

Först kvadrerar vi minus två och får fyra. Lägg till på båda sidor om likhetstecknet. Vi får ‘x-kvadrat’ minus ‘fyra x’ plus fyra lika med ‘minus tre’ plus fyra lika med ett. Och titta här! Det här uttrycket ser bekant ut.

den andra kvadreringsregeln och gå till -- steg fem. Nu skriver vi ekvationen som ‘x minus två i kvadrat’, och det är lika med ett. ‘x minus två’ är då ‘plus minus roten ur ett’, det vill säga ‘plus minus ett’. x-ett är lika med ‘plus ett plus två’, lika med tre. x-två är lika med ‘minus ett plus två’, lika med ett. Och vi har löst ekvationen med, just det, kvadratkomplettering.