Optimal volym och area

Lina funderar på hur man kan tillverka burkar och samtidigt använda så lite metall som möjligt. Det vore optimalt. Burken hon håller i handen rymmer 330 milliliter. För att den ska vara lätt att hålla i, har burken formen av en cylinder. Cylinderns volym räknas ut genom att multiplicera bas arean, som är en cirkel, gånger höjden på cylindern.

Alltså, pi gånger radien i kvadrat, som är cirkeln, gånger höjden. Burken ska rymma 330 milliliter, eller 330 kubikcentimeter. Det är begränsningen för volymen. Därför är begränsningsformeln, pi gånger radien i kvadrat gånger höjden, som är lika med 330. Mängden material som krävs räknar vi ut genom att lägga ihop de tre areorna för burkens lock, botten, och den böjda ytan runt burken.

Det här är begränsningsarean för en cylinder. Locket och botten har formen av en cirkel. Lockets area är pi gånger radien i kvadrat. Men vi har också en botten, så vi måste multiplicera arean med två. Vi gör ett snitt längs höjden på den böjda ytan runt burken och plattar ut den.

Den ytan har formen av en rektangel. Bredden på rektangeln är omkretsen på burken. Höjden på rektangeln är höjden på burken. Arean för den här ytan är bredden gånger höjden eller pi gånger två gånger radien, gånger höjden. Lägg ihop areorna för locket, botten, och rektangeln, så får vi begränsningsarean.

Lina vill använda så lite material som möjligt. Hon vill optimera arean. Därför måste hon ta reda på vilka värden på radien, r, och höjden, h som ger den minsta arean. Det betyder att formeln för att räkna ut begränsningsarean är en optimeringsformel. Den kan förenklas, så att den bara innehåller ett okänt värde.

Vi testar att ersätta h i optimeringsformeln genom att använda begränsningsformeln. Dividera med ‘pi och radien i kvadrat’ på båda sidor om likhetstecknet. Då är h, höjden, lika med: 330 dividerat med ‘pi gånger radien i kvadrat’. Nu ersätter vi h i optimeringsformeln med ‘330 dividerat med pi gånger radien i kvadrat’ Den nya formeln för begränsningsarean, blir ‘pi gånger radien i kvadrat, gånger två, plus 660 dividerat med radien’. Pausa filmen och kontrollera att det faktiskt stämmer.

Hur får vi nu fram den minsta, den optimala arean? Vi testar olika värden på r med en tabell. Skriv in några värden för radien, r, i kolumn A. Och i kolumn B, skriv ut de olika värdena du får fram. När radien ökar, minskar begränsningsarean, ända tills radien ökat till 5, då ökar arean igen.

Så, där radien är ungefär 4 centimeter finns den minsta begränsningsarean. Men det är inte säkert att det är exakt 4 centimeter som ger den minsta begränsningsarean. Med radien 3,9 får vi en mindre begränsningsarea. Vi testar med 3,8… 3,7… 3,6…! Aha!

Arean blir mindre ända tills radien minskat till 3,7. Vi prövar med två decimaler. Då är den minsta arean när radien är 3,74. Man kan fortsätta med tre och fyra och fem decimaler, men vi stannar här. Om radien är 3,74 centimeter är höjden ungefär 7,5 centimeter.

En radie på 3,74 centimeter betyder att diametern är 7,48 centimeter. Vi avrundar till 7,5. Diametern är alltså ungefär lika lång som höjden. Minsta begränsningsarean för en cylinder verkar vara när höjden är lika stor som diametern. Det är så en burk med formen av en cylinder borde tillverkas, för att förbruka minimalt med material.

Det är det optimala resultatet för Lina. Men höjden på burken som Lina har är större än diametern. Det är antagligen för att det är lättare att hålla och dricka ur en sån burk. Men Lina… snälla/kom igen.