Beräkna arean av en sammansatt figur

Jenny gillar bilar och jobbar på en racingbana. Racingbanan är gammal och behöver asfalteras om. Jenny ska räkna ut hur mycket asfalt som behövs. Här är en ritning på den lite ovala banan. Omkretsen runt racingbanans insida är 400 meter.

Det finns två raksträckor på 100 meter vardera. Och bredden är 16 meter. Det finns ingen exakt geometrisk figur som vi kan använda för hela racingbanan. Den består av flera olika figurer: två rektanglar, och två cirkelbågar. Racingbanan är alltså en sammansatt figur, och vi måste räkna ut raksträckorna och kurvorna var för sig.

Raksträckorna ser ut som rektanglar. 100 meter långa och 16 meter breda. Arean för en raksträcka är därför: 100 meter gånger 16 meter. Det är 1 600 kvadratmeter. Det finns två likadana raksträckor, så tillsammans är de 1 600 gånger 2, alltså 3 200 kvadratmeter.

Men de här kurvorna, cirkelbågarna? Hur räknar vi ut arean på dem? Om vi sätter ihop båda cirkelbågarna så här, får vi två cirklar, en innanför den andra. Och den totala arean för de två kurvorna är den yttre cirkelns area minus den inre cirkelns area. Arean på en cirkel är pi gånger radien i kvadrat.

Vi behöver alltså ta reda på radien. Det är klurigt, men det går. Den inre omkretsen på hela racingbanan är 400 meter. Om vi drar bort raksträckorna, som vardera är 100 meter, finns det 200 meter kvar av omkretsen. Den sträckan är omkretsen för den inre cirkeln.

Omkretsen för cirkeln, 200 meter, är pi gånger diametern. Dividera med pi på båda sidor om likhetstecknet. Diametern är 200 delat med 3,14 som är ungefär 64 meter. Och radien är hälften av diametern. Hälften av 64 är 32.

Den inre cirkeln har då arean: pi gånger 32 i kvadrat, som är ungefär 3 217 kvadratmeter. Radien på den yttre cirkeln är 32 plus racingbanans bredd, 16 meter, vilket är 48 meter. Den yttre cirkeln har då arean pi gånger 48 i kvadrat, som är ungefär 7 238 kvadratmeter. Racingbanans två kurvor har arean av den yttre cirkeln minus den inre cirkeln. Jenny räknar ut det: 4 021 kvadratmeter.

Så, hur mycket asfalt behöver hon? Addera raksträckornas area, 3 200, plus kurvorna, 4 021. Det är lika med 7 221 kvadratmeter. Så 7 221 kvadratmeter ska asfalteras. Nu kommer Jennys chef.

Aha! Bilarna behöver en plats där där de kan åka in och tanka och byta däck – en depå. Den har formen av ett parallelltrapets. De korta sidorna på parallelltrapetset är lika långa, alltså är det likbent. Sidorna är 13 meter.

Den parallella sidan mot racingbanan är 100 meter, och den andra parallella sidan är 90 meter. Depåns bredd är 12 meter. Arean får vi fram genom att lägga ihop de två långa sidorna och sedan dela med två. 100 plus 90 delat med 2 som är 95. Sedan multiplicerar vi svaret med bredden på banan, 12.

Arean för parallelltrapetset är 1 140 kvadratmeter. Tillsammans med resten av racingbanan är det 7 221 plus 1 140, ungefär 8 400 kvadratmeter som ska asfalteras. Det blev mycket räknande för Jenny för att få fram arean på hela racingbanan, den sammansatta figuren – plus depån! Nu förtjänar hon en paus. Men vänta, det är ju inte … asfalterat än!