มาตราส่วนของพื้นที่และของปริมาตร

ลีออนเป็นโค้ชให้กับทีมฟุตบอลลีกเล็กๆ เขาต้องการแผนที่สนามฟุตบอล ซึ่งใช้ตอนให้คำแนะนำ ขนาดจริงของสนามคือ 70 เมตรคูณ 40 เมตร และลีออนวาดมันขึ้นมา โดยมีมาตราส่วน 1 ต่อ 200 ทุกหนึ่งเมตรในความเป็นจริง เท่ากับ 200 เมตรบนแผนที่ หรือ ครึ่งเซนติเมตร และตอนนี้มันก็เล็กเกินไป ลีออนต้องการแผนที่ที่ใหญ่เป็น 2 เท่า เขาจึงทำใหม่ด้วยครึ่งหนึ่งของ มาตราส่วนนั้น เป็น 1 ต่อ 100 แทน ตอนนี้หนึ่งเมตรในสนามคือ หนึ่งเซนติเมตรบนแผนที่ มาตราส่วนครึ่งหนึ่งและมีขนาดเป็น 2 เท่า แต่เดี๋ยวก่อน แผนที่ใหม่ไม่ควรใหญ่เป็น 2 เท่าเหรอ? ตอนนี้มันใหญ่เป็น 4 เท่าแล้ว แล้วมันเป็นแบบนี้ไปได้อย่างไร? ดูใกล้ๆนะ ภาพใหญ่มีความสูง และความกว้าง มากกว่าภาพเล็ก 2 เท่า แต่พื้นที่เพิ่มขึ้นเป็น 4 เท่า นี่คือความแตกต่างกันระหว่าง มาตราส่วนเชิงเส้นกับมาตราส่วนของพื้นที่ เรารู้ว่าเราวัด ระยะทางเป็นเมตร และพื้นที่ เป็นเมตรยกกำลังสอง มาตารส่วนก็เหมือนกัน มาตราส่วนของพื้นที่จะเท่ากับมาตราส่วน เชิงเส้นยกกำลังสอง แผนที่อันเล็กวาดขึ้นด้วยมาตรา ส่วนเชิงเส้น 1 ต่อ 200 ถ้าเอาภาพแผนที่นี้มาวางต่อท้ายกัน มันจะพอดีกับความยาวตลอดด้านข้างของ สนามฟุตบอล นี่คือมาตราส่วนเชิงเส้น ถ้าเราเอา 200 มายกกำลังสอง จะได้ 40,000 ดังนั้นมาตราส่วนพื้นที่ก็คือ 1 ต่อ 40,000 เราต้องใช้ภาพอันเล็ก 40,000 ภาพ เพื่อให้ ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของสนามฟุตบอล ภาพอันใหญ่มีมาตราส่วนเชิงเส้น อยู่ที่ 1 ต่อ 100 และ 100 ยกกำลังสอง ก็คือ 10,000 ดังนั้นมาตราส่วนพื้นที่ คือ 1 ต่อ 10,000 ภาพอันใหญ่มีขนาดครึ่งหนึ่ง ของมาตราส่วนเชิงเส้น แต่เป็น 1 ใน 4 ของมาตราส่วนพื้นที่ เราจะไปอีกขั้นหนึ่งและ ทำให้มันเป็นสามมิติได้ นี่คือลูกเต๋า ขอบของมันยาว 1 เซนติเมตร และมีปริมาตรเท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอนนี้เรา จะสร้างแบบจำลองของลูกเต๋า ไว้ที่มาตราส่วนเชิงเส้นคือ 2 ต่อ 1 หรือเราทำให้ความยาวของด้านเป็น 2 เท่า คือ ยาว 2 เซนติเมตร แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับปริมาตรล่ะ? มันจะเป็น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ลูกบาศก์เซนติเมตรน่ะสิ มาตราส่วนของปริมาตรคือมาตราส่วนเชิงเส้น ยกกำลังสาม หรือลูกบาศก์ เมื่อพูดถึงมาตราส่วน เราก็มักจะหมายถึง มาตราส่วนเชิงเส้น แต่เราต้องระวังว่า เราเพิ่มหรือลดขนาดของมาตราส่วนเชิงเส้น พื้นที่จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงแต่กับ มาตราส่วนเชิงเส้นยกกำลังสอง และปริมาตรจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง กับลูกบาศก์ของมาตราส่วนพื้นที่ มาตราส่วนพื้นที่เท่ากับ มาตราส่วนเชิงเส้นกำลังสอง มาตราส่วนปริมาตรเท่ากับ มาตราส่วนเชิงเส้นกำลังสาม