Har du inte lärt dig om punktens koordinater ännu så är det en bra idé att göra det först, för det finns saker där som du behöver kunna för att förstå hur vi hanterar linjer i koordinatsystemet.

Två punkter i ett koordinatsystem kan bindas ihop med en linje. Detta kan användas för att visa hur två saker hänger ihop, till exempel hur något förändras.

Maria säljer tårtor

Antalet tårtor Maria sålt kan uttryckas som punkter i ett koordinatsystem där y-axeln representerar det totala antalet sålda tårtor och x-axeln representerar tid i dagar.

Dag 1: (1,1)

Dag 2: (2,2)

Dag 3: (3,3)

Dag 4: (4,4)

Koordinatsystemet visar att Maria säljer 1 tårta per dag

Mikael säljer tårtor

Mikael börjar också sälja tårtor. Hans säljresultat lägger vi på samma koordinatsystem som Marias.

Dag 1: -

Dag 2: (2,1)

Dag 3: -

Dag 4: (4,2)

Mikaels linje är inte lika brant som Marias, det visar att Mikael säljer färre tårtor än Maria.

Monika säljer tårtor

Nu börjar även Monika sälja tårtor, hon säljer mycket!

Dag 1: (1,2)

Dag 2: (2,4)

Dag 3: (3,6)

Dag 4: (4,8)

Hennes linje är brantare än båda de andras, det visar att hon säljer mer än både Maria och Mikael.

Riktningskoefficienten

Vi har utforskat linjens lutning, eller riktningskoefficient.

Om x-axeln representerar tid så representerar linjernas lutning förändringstakten, eller hur snabbt något förändras över tid.

De tre tårtförsäljarnas resultat är proportionell mot tiden, alltså för varje dag som går ökar försäljningen med lika mycket. Detta kan skrivas som en funktion.

Maria

Maria säljer 1 tårta per dag, hennes totala försäljning är ett multiplicerat med antalet dagar.

y = 1 · x = x

Mikael

Mikael säljer 1 tårta varannan dag, eller en halv tårta per dag i genomsnitt. Hans totala försäljning är lika stor som hälften av antalet dagar han sålt.

y = 1/2 · x = x/2

Monika

Monica säljer 2 tårtor per dag, hennes totala försäljning är dubbelt så stor som antalet dagar hon sålt.

y = 2 · x = 2x

Detta är 3 ekvationer som beskriver hur någonting (tårtförsäljningen) förändras som en funktion av något annat (tiden).

Funktionerna är lika varandra. Om vi skriver funktionen med variabler istället för med värden får vi ett uttryck på formen

y = kx

Här är k riktningskoefficienten och talar om hur mycket y förändras varje gång vi ökar x med 1. I ett koordinatsystem ger funktionen y = kx en rät linje som går genom origo.

Sammanfattning

Om ett samband kan beskrivas som en funktion på formen

y = kx

för något värde på k, så säger vi att y är proportionell mot x.

Om man ritar upp linjen som den här funktionen beskriver så blir det en rät linje som går genom origo.

Пропорційність