Här är en pannkaka. Hur stor är den? Vad har den för area?

Att räkna ut en cirkels area är ett problem som alla tidiga mänskliga civilisationerna har brottats med. En av de riktigt stora inom matematikhistorien - Arkimedes i Syrakusa - kom på hur man kan göra.

Om man delar en cirkel i smalare och smalare bitar, så kan man till slut göra en rektangel av den. Och arean av en rektangel har vi koll på.

Göra om cirklar till rektanglar

Vi börjar med att dela cirkeln i fjärdedelar och lägger de fyra cirkelsektorerna så här, som en rektangel.

Nja, nån rektangel ser det ju inte ut som precis.

Dela igen, så vi får åtta sektorer. Och igen så får vi sexton. Om vi flyttar en halv bit till andra sidan, börjar det likna en rektangel.

Om du fortsätter dela blir det slut bara gegga av pannkakan. Men du kan redan se mönstret: För varje gång vi delar blir formen mer lik en rektangel.

Den vågiga basen på rektangeln blir rakare och rakare ju smalare sektorer vi skär. Fortsätter man tillräckligt länge så blir det en perfekt rektangel.

Ser du vad som händer med pannkakans omkrets när du delar? Den rätas ut, och hälften hamnar i överkant i rektangeln, och hälften i underkant. Rektangelns bas, är alltså halva cirkelns omkrets Det är bra att veta när vi skall räkna ut arean.

Höjden på rektangeln då - vad kommer den ifrån?

a

Titta på snitten där du skurit pannkakan. De är cirkelns radie. Och de snitten blir rakare och rakare, för att till slut bli helt vinkelräta mot basen. Den här rektangelns höjd är alltså cirkelns radie.

Så, nu har vi både basen och höjden. Och en rektangelns area är ju basen gånger höjden: b · h.

Basen i den här rektangeln är halva cirkelns omkrets, O / 2. Höjden i rektangeln är cirkelns radie, r.

När Arkimedes hade kommit så här långt, var nästa steg lätt; för han hade redan tidigare lyckats beräkna värdet av π (alltså cirkelns diameter i förhållande till dess omkrets) med två decimalers noggrannhet.

Häng med nu. Omkretsen är d · π. Byt ut O mot d · π.

Och diametern är ju 2 · radien. Byt d mot 2 · r.

Nu kan vi förkorta: 2 / 2 = 1, och det gör ingen skillnad att multiplicera med 1, så den ettan behöver vi inte skriva ut. r · r = r².

Nu är vi redo att skriva ut cirkelns area.

cirkelns area = π r²

Hängde du med? Kolla igenom det igen om du tappade tråden. Var uppmärksam på hur cirkelns radie blir höjden, och hur halva omkretsen blir basen.

Exempel

Nu ska vi testa formeln. Här är en cirkel, med diametern 28 meter. En simbassäng kanske! Hur beräknar vi bassängens area?

Vi kikar på formeln.

cirkelns area = π r²

π är ungefär 3,14 och radien är halva diametern, r = 28 / 2 = 14 m.

Sen är det bara att slå på räknaren. Här gäller det att kunna prioriteringsreglerna. Först parentesen, sen potensen, och sist multiplikationen.

Arean är 615,44 kvadratmeter.

Eftersom vi mätte diametern i meter, får vi svaret i kvadratmeter. Du kan också testa att räkna ut arean med fler decimaler i pi. Då kommer du se att svaret blir lite större.

Om den här var svår att förstå, så titta på lektionerna om cirkelns omkrets, rektangelns area och om irrationella tal.

För allt det här hänger ihop.

Sammanfattning

Cirkelns area får man av uttrycket

π r².

Den går att ta fram genom att göra om en cirkel till en rektangel. Man delar upp cirkeln i pyttesmå cirkelsektorer och lägger dem brevid varandra.

Площа кола